Метод електричних зображень 3 страница

звідки

E 1 t = E 2 t, (2.9.1)

тобто тангенціальна компонента E неперервна.

Використавши формулу вектора зміщення

D = ε E, отримуємо граничну умову для тангенціальної компоненти

D 1 t

D 2 t

= ε1. (2.9.2)

ε2

Тангенціальна компонента вектора зміщення зазнає розриву на межі поділу діелектриків.

Межові умови для нормальних компонентів знайдемо, використавши теорему

Остроградського-Гауса для D, рис. 2.9.2. Вибравши замкнену поверхню у вигляді циліндра малої

висоти h та площею основи S, визначаємо потік D крізь цю поверхню D 1 n S − D 2 n S = 4πσ S, тобто

D 1 n − D 2 n = 4πσ. (СГС) (2.9.3)

Рис. 2.9.2. Визначення межової умови для нормальних компонентів вектора зміщення.

Потоком крізь бічну поверхню нехтуємо, оскільки h → 0. Якщо сторонні заряди на межі діелектриків

відсутні, то

D 1 n = D 2 n. (2.9.4)

Нормальна компонента вектора зміщення на межі діелектриків неперервна.

Для нормальних компонент напруженості поля з (2.9.4) маємо

E 1 n

E 2 n

= ε2. (2.9.5)

ε1

Нормальна компонента напруженості поля на границі двох діелектриками зазнає розриву.

Для зображення електричного поля лініями поля їх проводять відповідно до умов (2.9.4),

(2.9.5). За правилом побудови число ліній, що падають на dS

з першого діелектрика, є

dN 1 = D 1 dS cos α1 = D 1 n dS, a число ліній, що проходять у другий діелектрик, відповідно,

dN 2 = D 2 n dS.

Таким чином, для зміщення маємо

dN 1

dN 2 = Dn 1

Dn 2 =1, тобто лінії зміщення на межі поділу

діелектриків слід проводити так, аби вони не переривалися. Виконавши відповідну процедуру для Е,

отримуємо dN 1

dN 2 = En 1

En 2 = ε2

ε1, тобто частина силових ліній на межі розділу повинна зникати.

2.10. Напруженість, зміщення, різниця потенціалів поля та ємність конденсатора як функції діелектричної проникності

Вектор зміщення в діелектрику обмеженого розміру

Як було встановлено в п. 2.8, основна властивість вектора зміщення полягає в тому, що його потік та дивергенція не залежать явно від властивостей діелектрика, а визначаються лише сторонніми зарядами. Однак, це не означає, що сам вектор теж повинен залишатися незмінним при заміні одного діелектрика іншим. У зв’язку з безсумнівною важливістю цієї властивості з’ясуємо, за яких додаткових умов зберігається не лише потік чи дивергенція D, але й сама ця величина не залежить від

типу діелектрика.

Для деякої системи зарядів, розміщених у вакуумі, маємо

∫ D 0 dS = 4π∑ qi. В СГС

D 0 = E 0, де

E 0 – напруженість поля у вакуумі. Заповнивши весь обшир діелектриком, отримуємо

∫ DdS = ∫ D 0 dS =4π∑ qi. (СГС) (2.10.1)

Подамо зв'язок між D та D 0

у вигляді

D (r)= η D 0 (r). Коефіцієнт пропорційності η

в загальному

випадку може залежати від координати r та від напруженості поля Е. Є досить очевидним, що,

подібно до діелектричної проникності,

η не залежить від r, якщо діелектрик однорідний, а в

наближенні лінійної поляризації він не залежить від Е. За цих умов отримуємо

η = const. Винісши

η за знак інтеграла в (2.10.1), переконуємося, що η = 1, тобто маємо бажаний результат

D (r)= D 0 (r). (2.10.2)

Якщо конфігурація сторонніх зарядів та поверхня інтегрування не змінюється, то при заміні одного

однорідного та лінійного діелектрика іншим вектор зміщення у кожній точці поля зберігає своє значення. Крім того, повинна виконуватись попередня домовленість щодо ізотропності діелектрика.

Однак, однорідний діелектрик – це безмежний діелектрик. Якщо він має скінченні виміри, то сформульований вище висновок залишається справедливим, коли деяка конфігурація сторонніх зарядів створює поле, яке швидко спадає з наближенням до поверхні діелектричного тіла, тому поблизу від неї полем можна знехтувати. Виявляється, однак, що властивість незалежності D від типу

діелектрика поширюється і на більш практично важливі випадки, якщо врахувати неперервність

нормальної компоненти D:

D 1 n = D 2 n. Якщо поверхня діелектрика всюди перпендикулярна до ліній

зміщення, то отримуємо

D 1 = D 2. D 2

визначає зміщення за межами діелектрика, тобто є функцією

лише сторонніх зарядів і не залежить від типу діелектрика. Таким чином, у діелектрику скінченного розміру вектор зміщення в даній точці не змінюється при заміні одного однорідного та лінійного діелектрика іншим такої самої форми за умови, що лінії D всюди перпендикулярні до поверхні діелектричного тіла. Цій умові відповідає, наприклад, система, в яку входить точковий або сферично-симетрично розподілений сторонній заряд та концентричний сферичний шар діелектрика

довільної товщини; також циліндричний шар діелектрика в полі рівномірно зарядженої безмежної

циліндричної й коаксіальної з ним поверхні. В цей перелік також входить плоско-паралельна пластинка в однорідному полі, тобто плоский конденсатор із діелектриком, який заповнює обшир між обкладками. Нарешті, якщо однорідний та лінійний діелектрик довільної форми вкрити без зазору провідником, то виходячи з факту відсутності тангенціальної компоненти поля біля поверхні провідника, отримуємо, що і в цьому випадку індукція поля не залежить од типу діелектрика причому довільних зовнішніх обрисів.

Напруженість поля в діелектрику

Для напруженості з (2.10.2) отримуємо

E = E 0. (2.10.3)

ε

При виконанні зазначених вище умов напруженість електричного поля в діелектрику зменшується в

ε раз. З (2.10.3) видно, що діелектрична проникність має просту фізичну інтерпретацію, вказуючи у

скільки разів послаблюється поле в діелектрику порівняно з вакуумом. Також стає очевидним, що ця

величина має однакове значення в обох системах одиниць. З урахуванням (2.10.3) формулу Остроградського-Гауса для потоку вектора напруженості поля в однорідному та лінійному діелектрику (2.8.1) можна записати у такому вигляді:

q

∫ EdS = 4π k ε. (2.10.4)

Різниця потенціалів у діелектрику

Для різниці потенціалів двох точок діелектрика маємо

2 2 E0 dl

Δϕ0

Δϕ = −∫ Edl = −∫ ε

=. (2.10.5)

ε

1 1

При дотриманні зазначених вище умов різниця потенціалів точок, розміщених у діелектрику,

зменшується в ε раз.

Ємність конденсатора з діелектриком

Маємо

C = q

= q ε = C ε. (2.10.6)

U U 0

Ємність конденсатора при заповненні простору між його обкладками однорідним діелектриком

збільшується в ε раз

На формулі (2.10.6) ґрунтується спосіб визначення діелектричної проникності речовин методом

конденсатора. Для цього на протилежні грані плоско-паралельної пластинки з досліджуваного діелектрика наносять металеве покриття і визначають ємність отриманого конденсатора за

допомогою приладу, який вимірює ємність. Розрахувавши ємність конденсатора без діелектрика C 0

за формулою для плоского конденсатора (2.3.4’), визначають діелектричну проникність речовини

ε = C C 0

. (2.10.7)

2.11. Енергія електричного поля

Енергія системи точкових зарядів

Енергію взаємодії системи точкових електричних зарядів визначимо як роботу зовнішніх сил, затрачену на створення цієї системи, тобто роботу, виконану при повільному переміщенні зарядів із безмежності у визначені точки. Умова щодо малої швидкості переміщення необхідна для того, щоб не мати проблеми з кінетичною енергією носіїв зарядів. Крім того, не виникає потреби враховувати енергію магнітної взаємодії рухомих зарядів. Ця умова виконується, якщо, крім електричної, на носій заряду діє зовнішня сила Fзовн, яка врівноважує електричну силу в кожній точці траєкторії заряду

Fзовн = − q E. (2.11.1)

Обчислимо спочатку енергію взаємодії двох точкових зарядів. Умістимо заряд q 1

у задану

точку, а заряд q 2

перемістимо з безмежності в точку, що знаходиться на відстані

r 12

від

q 1,

рис. 2.11.1. За означенням енергія їхньої взаємодії

r 12

U 12 =

Врахувавши умову (2.11.1), маємо

∫ F зовн dl.

∞

r 12 q q

U 12

= − q 2

∫ E dl = k 1 2.

∞ r 12

Для перенесення наступного заряду

q 3 з безмежності в задану точку необхідно виконати роботу у

полі, створеному вже двома зарядами q 1 та q 2, тобто

q q q q

A = k 1 3 + k 2 3,

r 13

r 23

і енергія системи із трьох точкових зарядів

q q q q q q

U = k 1 2 + k 1 3 + k 2 3.

r 12

r 13

r 23

Рис. 2.11.1. До підрахунку енергії системи точкових зарядів.

Узагальнивши останню формулу для довільного числа n точкових зарядів, отримаємо

k n n q q

U = ∑∑

2 i =1 j =1

i

rij

j. (2.11.2)

Множник 1 2

враховує, що у подвійній сумі однакові члени зустрічаються двічі, наприклад,

q 1 q 2

r 12 + q 2 q 1

r 21. Крім того, в (2.11.2) відсутні члени суми з однаковими індексами i, j, тобто діє

додаткова умова i ≠ j.

Формулу (2.11.2) можна переписати в іншому вигляді, якщо зауважити, що для зафіксованого

значення одного з індексів, наприклад, i = const

n q

сума

ϕ i = k ∑

j (j ≠ i)

j =1 rij

визначає потенціал, утворений усіма, крім і- го, зарядами в точці, де знаходиться заряд

(2.11.2) можна записати ще й так:

qi. Тому

U = 1

n

∑ ϕ i qi. (2.11.3)

2 i =1

Енергія системи неточкових зарядів

На рис. 2.11.2 зображено два заряджених тіла, розмірами яких не можна знехтувати, порівняно з відстанню між ними. Для обчислення енергії такої системи із застосуванням формули (2.11.3) необхідно розділити ці тіла на елементарні ділянки, що дає

U = k

k

∫ ϕσ dS +

∫ ϕρ dV. (2.11.4)

Перший член у правій частині (2.11.4) враховує розподіл заряду по поверхні, другий враховує розміщення заряду в об’ємі.

Порівняно з попереднім випадком, поняття енергії неточкових зарядів набуває додаткового

змісту. Для з’ясування цього питання запишемо вираз для енергії у первинній формі (2.11.2), тобто як

U = k

Δ qi Δ qj

∑∑.

i j rij

Якщо об’єднати члени суми, в які входять елементарні заряди, що належать лише одному тілу,

наприклад,

Δ q 1 Δ q 2

r 12, рис. 2.11.2, то сума їх визначатиме роботу зовнішніх сил, затрачену на

створення заряду на цьому тілі. Така величина називається власною енергією зарядженого тіла. По виокремленню власних енергій усіх макрозарядів за знаком суми залишаться лише перехресні члени,

тобто члени, що визначають енергію взаємодії елементів зарядів, взятих із різних тіл, наприклад,

Δ q 1 Δ q 3

r 13. Сума цих членів визначає енергію взаємодії

Uвз

заряджених тіл – взаємну енергію.

Повна енергія системи неточкових зарядів дорівнює сумі власних енергій та взаємної енергії

U = ∑ Ui + U вз.

З означення власної енергії випливає, що вона завжди позитивна, тоді як взаємна енергія може бути

як позитивною, так і негативною.

Зазначимо, що у випадку провідників розділення енергії на власну та взаємну має сумнівну вартість, оскільки розподіл заряду на поверхні провідника, а, отже, і значення власної енергії залежить не лише від його форми, а й від розміщення навколишніх зарядів. Тобто власна енергія провідника не може вважатися внутрішнім параметром, оскільки її величина залежить від присутності навколишніх тіл. Винятками є деякі системи тіл із високою симетрією. В системі концентричних провідних сфер заряд на кожній з них завжди розподіляється рівномірно незалежно від числа сфер та величин зарядів на них. Іншими подібними випадками є система коаксіальних

циліндричних провідних поверхонь та система заряджених паралельних площин.

Рис. 2.11.2. До з’ясування поняття про взаємну та власну енергію.

Поняття власної енергії не стосується точкових зарядів внаслідок домовленості про їхній нульовий вимір. Зі зменшенням розміру носія заряду його потенціал, тобто й енергія прямуватимуть

до безмежності (U~ ϕ ~ 1 r → ∞). Енергія системи точкових зарядів – це лише взаємна енергія.

Розрахуємо енергію електричного поля плоского конденсатора з однорідним діелектриком між

обкладками. З (2.11.4) маємо U = (ϕ2 − ϕ1)σ S

2, тобто

U = q Δϕ = C Δϕ = q

, (2.11.5)

де Δϕ = ϕ 2 − ϕ1.

2 2 2 C

Густина енергії

За формулою (2.11.2) енергія є функцією величини електричного заряду та його розміщення,

тобто не трактується у польовому розумінні як функція напруженості електричного поля. З загальних

міркувань зрозуміло, що енергія як скалярна величина є парною функцією вектора поля

U ~ E 2.

Члени з вищими парними степенями Е, як можна здогадуватись, враховують нелінійну поляризацію діелектрика.

Знайдемо точну формулу для енергії як функції напруженості поля у плоскому конденсаторі з

однорідним діелектриком. Маємо

U = q 2

2 C, де

C = ε S

4π kd, а

q = σ S. Поверхневу густину

заряду можна записати як σ = ε E

4π k, тобто

U = ε E

Sd. (2.11.6)

8π k

Формула (2.11.6) легко узагальнюється для неоднорідного поля. Для цього розділимо простір, у

якому існує неоднорідне поле, системою близьких еквіпотенціальних поверхонь. На рис. 2.11.3

зображено дві такі поверхні ϕ та

ϕ + d ϕ. Вибравши невеликі протилежні ділянки dS

на них,

отримаємо елементарний плоский конденсатор, для якого можна застосувати формулу (2.11.6). Отже

dU = ε E

dV, (2.11.7)

де dV

8π k

– елементарний об‘єм між обкладками. Підсумувавши енергію всіх елементарних

конденсаторів, отримаємо

U = ε E

dV. (СГС, СІ) (2.11.8)

∫ 8π k

Для електростатичного поля існує однозначний зв’язок між зарядами та напруженістю, тобто

вирази (2.11.2) та (2.11.8) еквівалентні. Однак, електричне поле може існувати й у відсутності електричних зарядів як компонента електромагнітної хвилі. Наявність електричного заряду (причому такого, що рухається прискорено) необхідна лише для створення електромагнітної хвилі. Отже, формула (2.11.8) більш загальна, оскільки описує енергію як статичного так і змінного в часі

електричного поля.

Рис. 2.11.3. Розрахунок енергії неоднорідного поля.

З (2.11.6) та (2.11.7) видно, що величина енергії конденсатора пропорційна величині об’єму між його обкладками, тобто об’єму, в якому існує електричне поле, створене зарядами обкладок. Отже електрична енергія існує там, де існує електричне поле. Це дозволяє трактувати енергію поля в

локальному розумінні як функцію точки поля. Такою локальною характеристикою є густина енергії

u = dU = ε E

. (СГС, СІ) (2.11.9)

dV 8π k

Використавши зв’язок D і E, отримаємо також

u = DE

8π

u = DE

D 2

=

8πε

D 2

=

, (СГС) (2.11.10)

. (СІ) (2.11.10)

2 2ε0 ε

Енергія точкового заряду в електричному полі

Визначимо енергію точкового заряду q в електричному полі як роботу сторонніх сил при його повільному переміщенні з безмежно віддаленої точки в дану точку поля. Маємо

U = q ϕ. (2.11.11)

Це означення споріднене з означенням потенціалу точки поля (1.9.3), де q – пробний заряд. Потенціал

точки поля чисельно дорівнює енергії одиничного точкового заряду, набуту при переміщенні зовнішніми силами в цю точку з безмежності. Зауважимо, що заряди, які створюють електричне поле повинні залишатися нерухомими – переміщується лише заряд q.

З (2.11.11) видно, що у відношенні калібрувальних властивостей енергія електричного поля

еквівалентна потенціалу, тобто визначається з точністю до довільної константи.

Рис. 2.11.4. До розрахунку обертової енергії диполя в полі.

Енергія диполя

Ми не будемо обчислювати енергію, затрачену на утворення електричного диполя та переміщення його у задану точку поля, а знайдемо лиш частину її, зумовлену обертанням вже існуючого диполя в електричному полі навколо нерухомої осі. На рис. 2.11.4 вісь обертання

перпендикулярна площині рисунка. При обертанні на елементарний кут d θ

зовнішніми силами з

моментом

M зовн

виконується робота

dA = M зовн d θ. Момент сили та кутове переміщення описують

обертальні та коливальні рухи, тобто є аксіальними векторами. Напрямок аксіального вектора узгоджується з напрямком переміщення променя від початкового положення за правилом правого

свердлика. В даному випадку

M зовн

та d θ

паралельні вектори, тому

M зовн d θ = М зовн d θ. Якщо