Метод електричних зображень 1 страница

Обґрунтування методу

Якщо електричне поле утворено лише точковими зарядами, розміщення та величини яких відомі, то знаходження потенціалу цієї системи зводиться до розв’язку тривіальної задачі Кулона

ϕ = k ∑ qi ri, де

qi – величина і- го заряду,

ri – відстань од нього до точки спостереження. Задача

значно ускладнюється, якщо в систему входять заряджені чи навіть незаряджені провідні тіла. Адже розподіл заряду, індукованого на поверхні провідника, апріорі невідомий і можна лише стверджувати, що заряд розміщується так, аби забезпечити однаковий потенціал усіх точок

провідника.

Рис. 2.5.1. До обґрунтування методу дзеркальних зображень.

У просторі між зарядженими тілами електричне поле описується рівнянням Лапласа

Δϕ = 0.

Загальному розв'язкові цього рівняння відповідає широкий клас функцій. Фізичний зміст має лише частковий розв'язок, тобто задача повинна вирішуватися з урахуванням крайових умов. В даному випадку ці умови зводяться до надання значень потенціалів на провідних тілах. Для провідних поверхонь довільної форми такі задачі не мають аналітичного розв'язку й результат отримують чисельними методами. Однак, якщо обриси провідників та взаємне розміщення їх, а також точкових зарядів мають певну симетрію, то електричне поле можна обчислити за допомогою деяких штучних

прийомів, не розв'язуючи безпосередньо рівняння Лапласа. Один із таких способів полягає в тому, що

розв'язують обернену задачу, тобто вибирають деяку функцію

ϕ(x, y, z), яка задовольняє рівняння

Лапласа, і підбирають форму та розміри провідників так, аби забезпечити необхідний розподіл потенціалу на них. Інший підхід – метод дзеркальних зображень розглянемо детально.

В основі методу дзеркальних зображень лежить теорема про існування єдиного розв'язку диференціального рівняння. Суть теореми в даному випадку зводиться до твердження, що неоднаковим конфігураціям зарядів, які, однак, мають однакові крайові умови, відповідає однаковий частковий розв'язок рівняння Лапласа, тобто однаковий розподіл електричного поля у певній частині простору. Сутність методу дзеркальних зображень полягає в тому, що електричне поле, утворене точковими зарядами та провідниками, моделюють сукупністю полів лише точкових зарядів, величину та розміщення яких підбирають так, аби отримати еквіпотенціальну поверхню, що збігається з поверхнею провідника.

Щоб упевнитись у можливості існування відмінних між собою систем зарядів, які, однак,

утворюють ідентичні поля, розглянемо таку задачу. Виділимо у системі n точкових зарядів деяку

еквіпотенціальну поверхню

ϕ(x, y, z)= C, рис. 2.5.1. Нехай всередині поверхні розміщується частина

зарядів

q 1 ,q 2, K ,qm, а заряди

qm +1, K ,qn

знаходяться зовні. Подумки вкриємо еквіпотенціальну

поверхню провідною оболонкою. Неважко показати, що додана таким способом металева поверхня не впливатиме на розподіл поля як всередині так і зовні її. Дійсно, вільні заряди металевої оболонки перемістяться уздовж силових ліній, тобто перпендикулярно до поверхні, утворивши подвійний зарядовий шар. Поле індукованого заряду нейтралізує в матеріалі провідної оболонки поле зовнішніх зарядів і, подібно до поля плоского конденсатора, не виходить за межі провідника. Отже, накладання провідної оболонки на еквіпотенціальну поверхню не змінює електричного поля по обидва боки

поверхні. Відомо також, що напруженість поля в порожнині провідника визначається лише зарядами,

які там розміщені (тут

q 1 ,q 2, K ,qm), і не залежить од зовнішніх зарядів (електростатичний екран).

Тобто, якщо зовнішні заряди прибрати, то поле всередині оболонки не зміниться. Зауважимо, що, при цьому ми отримуємо інше значення потенціалу провідної оболонки. Таким чином, маємо дві конфігурації зарядів: 1) система з n точкових зарядів і 2) система з m точкових зарядів плюс провідна поверхня певної форми, яка їх оточує. Обидві системи утворюють у частині простору, обмеженій цією поверхнею, ідентичне поле. Розглянутий приклад переконує, що поле, утворене системою провідників та точкових зарядів, можна моделювати, замінюючи провідники точковими зарядами та підбираючи величину й розміщення їх так, аби еквіпотенціальна поверхня, утворена першою системою (всі заряди точкові), збігалася з поверхнею провідника.

Метод дзеркальних зображень не є універсальним, оскільки для довільного розміщення точкових зарядів та провідних тіл довільної форми неможливо наперед угадати величину та розміщення модельних точкових зарядів, які задовольняли б задану крайову умову. Тому застосування цього методу обмежується випадками, коли провідні поверхні мають певну симетрію, наприклад, безмежна площина, сфера, циліндрична чи гіперболічна поверхня, а також комбінації цих

поверхонь. Розглянемо декілька простих випадків застосування методу дзеркальних зображень.

Точковий заряд і провідна площина

На рис. 2.5.2. а точковий заряд q знаходиться на відстані l

від безмежної незарядженої

провідної площини. Необхідно знайти розподіл σ '

та силу притягання між площиною та зарядом q.

заряду, наведеного на поверхні, його величину q'

Цю задачу можна уявити як результат граничного переходу в системі, яка складається з точкового заряду, розміщеного де-небудь всередині провідної сфери, коли необмежено збільшувати її радіус, залишаючи незмінною відстань l між сферою та точковим зарядом. Виходячи з відомої

властивості порожнини у провіднику, на лівій поверхні площини індукується заряд

q' = − q, а заряд

q '' = q

на правій поверхні розподілиться незалежно від розміщення заряду

q'. Середня густина

заряду на правій поверхні

σ '' = q''

S → 0, оскільки

S → ∞. Отже, поле у правому півпросторі

відсутнє і ми отримуємо крайову умову для площини

∞

ϕ = ∫ Edr =0. До такого ж висновку можна

прийти, використавши поняття електроємності. Дійсно, ємність провідника безмежного розміру теж

безмежно велика, тому, враховуючи, що на провіднику знаходиться заряд q'

скінченної величини,

отримуємо ϕ = q'

C = 0.

Легко бачити, що ця крайова умова виконується також для системи, яка складається із двох

точкових зарядів q та

− q, відділених відстанню

2 l, рис. 2.5.2. б. Виходячи з теореми про існування

єдиного розв'язку, цим, відмінним одна від одної системам зарядів, повинні відповідати однакові

поля у лівому півпросторі. Заряд − q

за розміщенням та знаком є немовби дзеркальним зображенням

заряду q, що й зумовило назву методу.

Рис. 2.5.2. Точковий заряд і провідна площина (а) та модель із двох точкових зарядів (б).

Поле точкових зарядів q та − q біля довільної точки поверхні ϕ = 0

E = E + + E − = −2 kql n,

r 3

дорівнює

де n – орт нормалі до поверхні. Біля поверхні провідника виконується умова поверхнева густина індукованого заряду

E = 4π k σ ' n, тобто

σ ' = −

ql.

2π r 3

Враховуючи властивість порожнини у провіднику (2.2), отримуємо, що величина індукованого

поверхневого заряду

q' = − q. Сила притягання поверхні та заряду q дорівнює силі притягання

модельних точкових зарядів, тобто

F = qE = kq 2

(2 l)2.

Точковий заряд і дві взаємно перпендикулярні провідні півплощини

Нехай точковий заряд q знаходиться на однаковій відстані l

від двох напівбезмежних взаємно

перпендикулярних провідних площин, рис. 2.5.3. Необхідно знайти силу взаємодії заряду q із зарядами, наведеними на поверхнях. Виходячи з аналізу попередньої задачі, маємо крайову умову

ϕ = 0. Для горизонтальної площини цю умову задовольняємо, розмістивши симетрично заряд − q у

нижній правій частині рисунка. Щоб задовольнити цю крайову умову для вертикальної поверхні,

необхідно розмістити симетрично зліва від неї вже два заряди − q

та q. Видно, що поле цих останніх

зарядів не змінює нульового значення потенціалу горизонтальної площини. Отже, поле у просторі

між площинами еквівалентне полю квадруполя – системи із чотирьох точкових зарядів, розміщених у

вершинах квадрата зі стороною модельних зарядів, дорівнює

2 l. Сила, що діє на точковий заряд зі сторони трьох інших

kq 2 (2

2 −1)

F =.

8 l 2

Рис. 2.5.3. Точковий заряд і дві провідні півплощини.

Точковий заряд та заземлена металева сфера, рис. 2.5.4

Необхідно обчислити силу взаємодії цих зарядів. Щоб розв'язати задачу з використанням методу дзеркальних зображень, необхідно попередньо обґрунтувати положення, що у системі із двох

точкових зарядів протилежних знаків еквіпотенціальна поверхня

ϕ = 0

має форму сфери. Заряди q

та q'

знаходяться на осі ОХ, відстань d між ними, причому q знаходиться у початку координат. Для

довільної точки поверхні

ϕ = 0

маємо

ϕ = kq

r + kq' r' = 0. З умови видно, що заряди повинні мати

протилежні знаки. Виразивши r, r'

через координати, отримуємо після елементарних перетворень

(x 2 + y 2 + z 2) q 2 = [(x − d)2 + y 2 + z 2 ] q' 2. Виділивши повний квадрат для x,

⎛ x d

2 2

⎞ y 2 z 2 ⎛ d ⎞,

⎜ − ⎟ +

1 − q' 2 q 2

+ = ⎜ ⎟

q' / q − q / q'

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

отримуємо рівняння сфери (x − l)2 + y 2 + z 2 = R 2

радіуса

R = d

q' / q − q / q'

(2.5.1)

із центром у точці з координатою

l = d

. (2.5.2)

1 − q' 2 q 2

З двох останніх формул знаходимо

'

q = − R

q l

та

(2.5.3)

⎛ R 2

⎜

d = l ⎜

⎞

⎟

− 1⎟. (2.5.4)

⎝ l ⎠

Таким чином, дві неоднакові системи зарядів мають ідентичну крайову умову

ϕ = 0 у вигляді

сферичної поверхні. Вихідна система – це заземлена металева сфера радіуса R плюс точковий заряд q,

розміщений на відстані l

від її центра; модельна – два точкові заряди q та q', розміщені на відстані d.

За теоремою про існування єдиного розв’язку обидві системи зарядів за межами сфери створюють

однакове поле, тобто на заряд q в обох випадках діє сила

d, отримуємо

F = − kqq'

d 2. Підставивши значення q' та

F = − kq 2

Rl.

(R 2 − l 2)2

Рис.2.5.4. Точковий заряд і заземлена металева сфера.

Точковий заряд та незаземлена провідна сфера, рис. 2.5.5

Необхідно визначити силу їхньої взаємодії. Новим, порівняно з попередньою задачею, є те, що потенціал сфери не дорівнює нулеві, тому його потрібно попередньо обчислити, що дасть нам необхідну крайову умову. Розділивши подумки поверхню металевої сфери на елементи так, аби кожний з них можна було вважати точковим зарядом, отримуємо вираз для потенціалу довільної

точки на сферичній поверхні чи всередині її

⎛ q Δ q ⎞

ϕ = k ⎜

+ ∑ i ⎟.

⎝ l ri ⎠

Еквіпотенціальність точок на поверхні та всередині сфери дає можливість вибрати для обчислення потенціалу довільну з них. Неважко бачити, що розв’язок задачі значно спрощується, якщо цю точку

вибрати в центрі сфери. Тоді всі ri = R, що дає

⎛ q q ⎞

ϕ = k ⎜

⎝ l

+ 0 ⎟, (2.5.5)

R ⎠

де q 0

– заряд сфери. Якщо сфера не заряджена, то

ϕ = kq / l. (2.5.6).

Якщо сфера заряджена і виявилось, що ϕ = 0, то q 0

q = − l

R, (див. (2.5.3)).

Рис. 2.5.5. Точковий заряд і незаземлена провідна сфера.

Далі необхідно сконструювати з точкових зарядів еквіпотенціальну поверхню у вигляді сфери

радіуса R, центр якої знаходиться на відстані l

від точкового заряду q, а потенціал описується

формулою (2.5.6), тобто, на відміну від умови у попередній задачі, не дорівнює нулеві. Потенціал

усіх точок сфери можна змінити на однакову величину, якщо вмістити в її центр точковий заряд

q'',

величина якого визначається з умови

розміщений у центрі сфери і має величину

q l = q''

R. Тобто другий модельний точковий заряд

q'' = qR / l = − q'. (2.5.7)

З'ясувалося, що модельні заряди q'

та q''

утворюють електричний диполь. Таким чином, поле

незарядженої незаземленої провідної сфери, наведене полем точкового заряду, еквівалентне полю диполя, параметри якого задаються формулами (2.5.3), (2.5.4) та (2.5.7). Сила, із якою заряд q

притягується незаземленою провідною сферою, тобто диполем, дорівнює

⎛ q'

F = kq ⎜

q'' ⎞

+ ⎟,

⎜ d 2 l 2 ⎟

⎝ ⎠

де всі величини вже визначено.

2.6. Поляризація діелектриків

Загальні поняття

Діелектрики знані, перш за все, як речовини, що не проводять постійного електричного струму, оскільки у них відсутні вільні заряди. Правда, в реальних діелектриках завжди існує деяка кількість зарядів, які можна вважати вільними, проте концентрація їх незначна, порівняно із провідниками, тому вони не мають вирішального впливу на електричні властивості речовини. В технічних

застосуваннях до діелектриків (ізоляторів) відносять матеріали з питомим опором ρ > 1017 Ом ⋅м

при

кімнатній температурі. Проміжне положення між діелектриками та провідниками щодо величини опору займають напівпровідники.

Для спрощення подальшого аналізу приймемо за основу модель ідеального діелектрика, тобто речовину, в якій вільні заряди взагалі відсутні. Однак, це зовсім не означає, що зовнішнє електричне поле ніяк не впливає на діелектрик. Будь-яка речовина – провідник чи діелектрик, тверде тіло, рідина чи окрема молекула існують завдяки збалансованості електричних сил притягання різнойменних та відштовхування однойменних електричних зарядів. З теореми Ірншоу випливає, що ця рівновага має динамічний характер, тобто зберігається в часі не положення зарядів у просторі, а характер руху, тут форма електронних орбіт та положення рівноваги іонів, що коливаються. В зовнішньому електричному полі заряди речовини зміщуються до нового положення рівноваги. На відміну від провідників, де вільні заряди переміщуються на відстані, що набагато перевищують міжатомні

відстані, і виходять на поверхню зразка, в діелектриках ці переміщення значно коротші, складаючи

малі частки від характерного атомного масштабу

a ~ 10−8см. Зміщення зарядів діелектрика під дією

зовнішнього поля є першоосновою явища поляризації. Оскільки позитивні та негативні заряди зміщуються у протилежних напрямках, то діелектрик виявляється поляризованим, якщо в кожному виділеному об’ємі його існує відмінний від нуля електричний дипольний момент.

Рис. 2.6.1. Макроскопічна картина поляризації діелектрика.

Прояви поляризації надзвичайно різноманітні й знаходять широке застосування в багатьох галузях науки та техніки. Здатність діелектрика поляризуватися описується діелектричною

проникністю

ε. В оптиці поляризація діелектриків під дією світлової хвилі описується показником

заломлення n =

εμ, з яким пов’язана фазова швидкість поширення світла в речовині

v = c n, а

також явища відбивання та заломлення світла на межі двох середовищ. Залежність показника заломлення від частоти світла – дисперсія використовується для розкладання його у спектр за допомогою дисперсійних пристроїв призм – прозорих діелектричних тіл спеціальної форми. Широке застосування знаходить явище подвійного променезаломлення, яке спостерігається в анізотропних середовищах – кристалах. Залежність показника заломлення від прикладеного зовнішнього електричного поля – електрооптичний ефект використовується для відхилення лазерних пучків. Явище нелінійної поляризації використовується для генерації гармонік лазерного випромінювання. Поляризація діелектриків під дією механічних сил – п'єзоелектричний ефект, як і обернене явище – деформація кристалів під дією зовнішнього електричного поля лежить в основі роботи багатьох

радіоелектронних пристроїв (п'єзоелектричні фільтри, генератори електричних коливань, лінії затримки, тензодатчики, мікрофони, у медицині для ультразвукової діагностики тощо). Цей перелік

складає лише незначну частину технічних та наукових застосувань явища поляризації.

Поляризаційні заряди

Вмістимо плоско-паралельну пластинку з однорідного діелектрика в однорідне поле

E 0,

рис. 2.6.1. На нижню поверхню виходить негативний заряд, на верхню – позитивний. Макроскопічні заряди, що виникають внаслідок зміщення мікроскопічних зарядів діелектрика під дією зовнішнього електричного поля, називаються поляризаційними або зв’язаними зарядами. Поляризаційні заряди не змінюють загального заряду діелектрика, оскільки позитивні та негативні заряди виникають у рівній кількості. Вони зникають при виведенні діелектрика із поля і тим відрізняються від зарядів, які спеціально наносять на поверхню або вводять в об'єм діелектрика. Ці заряди називатимемо сторонніми. Сторонні заряди порушують електронейтральність діелектрика і, власне, є причиною виникнення поляризації. В багатьох кристалах (піроелектрики, фероелектрики) спостерігається

спонтанна поляризація. Поляризаційні заряди, об'ємну та поверхневу густину їх надалі

позначатимемо штрихованими символами q', ρ '

та σ ', відповідно.

Рис. 2.6.2. Поляризація неоднорідного діелектрика.

Локалізація поляризаційних зарядів

Розглянемо в якісному наближенні картину поляризації неоднорідного діелектрика. На рис. 2.6.2. а крива зображає зміну концентрації атомів n уздовж бруска неоднорідного діелектрика. У відсутності зовнішнього поля негативні (електрони) та позитивні (ядра) заряди взаємно

компенсуються у кожній точці діелектрика, тобто об’ємна густина їх скрізь однакова

ρ+ = n (r) e = −ρ−.

В зовнішньому полі заряди протилежних знаків зміщуються у протилежних

напрямках і, як видно з рис.2.6.2. б, в об'ємі виникає деякий надлишковий заряд густиною

ρ ' (r)= ρ+ (r)+ ρ− (r)≠ 0. Таким чином, в неоднорідному діелектрику виникають об’ємні поляризаційні

заряди там, де знаходиться ця неоднорідність. Цей висновок застосовний також для поверхневих

поляризаційних зарядів, адже поверхня – це двовимірна неоднорідність, яка відділяє діелектрик від іншого діелектрика чи від вакууму.

З рис. 2.6.1 видно, що поляризаційні заряди з поверхневою густиною

σ ' та

− σ '

створюють у

діелектрику макроскопічне поле, еквівалентне полю плоского конденсатора

E' = 4π k σ '.

Загальне

макроскопічне поле в діелектрику є результатом суперпозиції полів сторонніх та поляризаційних

зарядів

E = E 0

+ E '

і має величину меншу від поля сторонніх зарядів. Для розміщення, зображеного

на рис. 2.6.1, маємо

E = E 0

− E'. У провіднику зовнішнє електричне поле повністю компенсується

полем вільних зарядів, індукованих на його поверхні, тоді як у діелектрику внаслідок незначного числа вільних зарядів та малих зміщень зв’язаних зарядів загальне поле лише послаблюється, хоч іноді досить суттєво (в сотні й тисячі раз у фероелектриках).

2.7. Вектор поляризації (поляризовність) діелектрика

Поляризація атома

Розглянемо явище поляризації на прикладі простої системи – атома водню. За напівкласичною моделлю Резерфорда-Бора в основному енергетичному стані єдиний електрон його рухається вздовж колової орбіти, як це зображено на рис. 2.7.1. а. Експериментально засвідчено, що у відсутності

зовнішнього поля атом є ізотропним утворенням, тобто його властивості не залежать од напрямку.

На перший погляд цьому суперечить наявність миттєвого дипольного моменту атома

p (t)= − e r (t).

Однак, необхідно врахувати, що період обертання електрона значно менший ніж час релаксації τ