Найпростіша версія моделі

З метою спрощення ситуації приймемо ряд припущень.

Припущення 1. Сеанси передавання починаються одночасно для всіх розповідачів і мають однакову тривалість.

Припущення 2. Кожен знавець чутки поширює її впродовж усього вибраного нами часу моделювання, не вносячи при цьому ніяких спотворень, інакше це буде вже інша чутка.

Припущення 3. При кожному черговому передаванні чутка
повинна потрапляти лише до тих осіб, які раніше її не чули. Для
виконання цієї умови слід перш, ніж її передати, отримати негативну відповідь на питання: «А ви чули, що...»?

Зауваження. Реально поширення чуток не відбувається цілодобово: у переважної більшості людей є чимало інших важливих справ, і найчастіше люди спілкуються не з метою вислухування й поширення чуток. Нагадаю, що ми обговорюємо задачу про чутки як простий приклад підходу до створення й дослідження моделі.

Саме тому більш зручним виявиться підрахунок кількості знавців слуху не через певний час, а після певної кількості сеансів передавання. У такому разі доцільно переформулювати мету моделювання, а саме:

Скільком мешканцям слух стане відомий після деякої кількості сеансів передавання, якщо в початковий момент він відомий лише декільком з них?

Формалізуємо умову задачі, тобто знаходячись на стадії її постановки перетворимо умову так, щоб вона унеможливлювала різночитання, тобто мала б однозначне тлумачення. Введемо такі кількісні характеристики:

j – порядковий номер сеансу передачі (j = 0, 1, 2,..., п);

N ₀ – початкова (j = 0) кількість знавців слуху;

N_j – кількість знавців після j - го сеансу.

Нехай кожен знавець за один сеанс передавання повідомляє чутку k новим особам. У такому разі для виконання Припущення 3 необхідно, щоб упродовж сеансу передавання кожен знавець знаходив k осіб, яким чутка ще невідома.

Тут N, j, k – додатні цілі числа.

Як відзначалося вище, параметр k у різних людей може мати різні значення залежно від рівня їх індивідуальної здатності до спілкування і, крім того, при різних обставинах k може випадково змінюватися в часі. У зв’язку з цим приймемо ще одне

Припущення 4. Вважатимемо параметр k незмінним у часі й
однаковим для всіх знавців.

Тоді, наприклад, k = 2 означатиме, що впродовж усього часу
моделювання кожен знавець за один сеанс передачі розповідає чутку двом новим особам, а кожен з цих двох у наступному сеансі передасть чутку двом іншим і так далі. В цьому випадку при N ₀ = 1

– після першого сеансу кількість знавців стане:

1(початковий) + 2(нових) = 3;

– після другого сеансу кожен з цих трьох повідомляє чутку двом
новим, і кількість знавців за другий сеанс збільшується на 3 × 2 = 6, а всього за два сеанси їх стає 3 + 6 = 9 і так далі.

Якщо після сеансу з номером(j – 1) чутка відома N_{j -1} особам, то після наступного сеансу з номером j число знавців збільшиться на

D N = N_{j – 1} k, (1)

а їхня загальна кількість складе

N_j = N_{j – 1} D N (2)

що з урахуванням (1) дасть

N_j = N_{j- 1}(1+ k). (3)

Системи рівнянь (1) і (2) або (1) і (3) є найпростішою математичною моделлю нашої задачі про поширення чуток.

Зауваження. У цій моделі згідно домовленості час t явно не
фігурує, тобто рівняння (1) і (2) не містять змінної t, але за необхідності час t завжди можна знайти: t = j D t, де t – тривалість
одного сеансу передавання.

Таким чином, умову задачі формалізовано і створено її математичну модель.