Программная реализация модели

Программная реализация модели, как правило, предусматривает следующую последо­вательность шагов.

1. Построение логической схемы модели. Логическую схему рекомендуется строить по блочному принципу, то есть в виде совокупности стандартных блоков. Это обеспечивает гибкость в процессе отладки и эксплуатации программы. Блоки бывают двух типов: основные и вспомогательные. Основные блоки соответствуют некоторому реальному подпроцессу из системы S. Вспомогательные блоки не отражают функции моделируемой системы и необходимы для фиксации данных и обработки результатов моделирования.

2. Выбор инструментальных средств для моделирования: какое программное обеспечение (ПО) использовать для реализации модели. Выбор соответствующего ПО производится с учетом имеющихся технических средств, обеспечения всех этапов реализации модели, возможности своевременного получения результатов.

3. Спецификация и построение схемы программы. Спецификация – формализованное представление требований, предъявляемых к программе (по времени выполнения, по требуемой памяти, по возможности ведения диалога, по форме вывода расчетных данных и т.д.)

Схема программы должна отражать: а) разбиение модели на блоки, подблоки и связи между ними; б) особенности программирования; в) проведение необходимых изменений; г) возможности тестирования; д) оценка затрат компьютерного времени; е) формы представления входных и выходных данных.

4. Проведение программирования модели. Если представлена и сформирована адекватная схема программы, то программирование выполняется без участия и помощи со стороны разработчика модели, а только программистом (конечно, если разработчик и программист – не одно лицо).

5. Проверка достоверности программы. Эта проверка выполняется: а) обратным переводом программы в исходную схему; б) проверкой отдельных частей программы при решении различных тестовых задач; в) объединением всех частей программы и проверкой ее в целом на конкретных примерах моделирования варианта системы S.

На этом этапе необходимо также проверить оценки затрат машинного времени на моделирование. Полезно также приближенную оценку зависимости затрат компьютерного времени от количества реализаций, что позволит разработчику (заказчику) правильно сформулировать требования к точности и достоверности результатов моделирования.

6. Составление технической документации (ТД). ТД должна содержать: а) логи­че­скую схему модели и ее описание; б) адекватную схему программы и принятые обозначения данных; в) полный текст программы; г) перечень входных и выходных величин с пояснениями; д) оценку затрат машинного времени на моделирование с указанием требуемых ресурсов (ограничений) компьютера.

Планирование модельных экспериментов

5.1 Задачи планирования экспериментов. Стратегическое и тактическое планирование.

Для правильной организации модельного эксперимента исследователь должен:

помнить, к какому классу относится моделируемая система (статическая или динамическая, детерминированная или стохастическая);

определить, какой режим работы его интересует: стационарный (установившийся) или нестационарный (переходный);

необходимо знать, в течение какого промежутка времени следует наблюдать за поведением (функционированием) системы;

оценить, какой объем испытаний (т.е. повторений экспериментов) сможет обеспечить требуемую точность оценок исследуемых характеристик системы (в статистическом смысле).

Можно взять от модели все по максимуму: исследовать работу во всех режимах, для всех возможных сочетаний внешних и внутренних параметров и все эксперименты повторять по тысяче раз. Однако польза от такого моделирования невелика: 1) полученные данные будет сложно обработать и проанализировать; 2) принять с ними решение практически невозможно. Да и затраты времени на такое моделирование окажутся слишком велики.

Таким образом, планирование экспериментов преследует две цели:

сокращение объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов;

повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности.

Планирование экспериментов основано на представлении объекта как “ черного ящика ” (рис.5.1), т.е. в процессе исследования изучается влияние входной переменной (фактора) x на выходную переменную (реакцию, отклик) y.

Для того, чтобы получить статическую характеристику объекта с k входами: Х(х₁,...,х_k) и одним выходом y в некоторой области D_x, необходимо задавать поочередно на входе объекта значения входным переменным Х⁽¹⁾,..., Х^(N) D_x, выдерживая каждое из них в течение времени t T, где Т - оценка времени переходного процесса по всем каналам.

Рис. 5.1 Представление объекта моделирования

Измеряя на выходе соответствующие установившиеся значения y, получим таблицу значений выходной переменной y₁,..., y_N. Значения Х⁽ⁱ⁾ и соответствующие им y_i задают в табличном виде искомую статическую характеристику.

Для построения аналитического вида статической характеристики могут быть использованы соответствующие методы аппроксимации функции нескольких переменных.

Факторное пространство – это множество внешних и внутренних параметров модели, значение которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента.

В общем случае факторы могут быть не только количественного, но и качественного вида. Например, при оценке пользовательского интерфейса такими факторами может быть цветовая палитра, степень подготовки пользователей и т.д. Поэтому значения факторов называют уровнями. Если при проведении эксперимента исследователь может изменять уровни факторов, эксперимент называется активным, в противном случае – пассивным.

Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня. Точка в факторном пространстве, соответствующая нулевым уровням всех факторов, называется центром плана.

Интервалом варьирования фактора называется некоторое число J, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание – нижний уровень.

Определенный вектор значений уровней варьируемых факторов задает одно из возможных состояний рассматриваемой системы, и этому состоянию соответствует определенная точка в многомерном факторном пространстве.

Функциональная связь между факторами и реакцией называется функцией реакции (чаще называемой функцией реакции или функцией отклика), а геометрический образ этой функции есть поверхность реакции (поверхность отклика).

Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основного) выходного скалярного параметра Y, который называется наблюдаемой переменной. Если моделирование используется как инструмент принятия решений, то в роли наблюдаемой переменной выступает показатель эффективности.

При этом предполагается, что значение наблюдаемой переменной, полученное в ходе эксперимента, складывается из двух составляющих:

Y = f(x)+ e(x), где

f(x) – функция отклика (неслучайная функция факторов)

e(x) – ошибка эксперимента (случайная величина)

х – точка в факторном пространстве (определенное сочетание уровней факторов).

Очевидно, что Y – случайная переменная, которая зависит от случайной величины е. Дисперсия Dy наблюдаемой переменной, которая характеризует точность измерений, равна дисперсии ошибки – Dy=De

Dy называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризует качество эксперимента. Эксперимент называют идеальным при Dy=0.

Так как на значение величины Y оказывают влияние стохастические воздействия разного рода, то форма связи между величинами X и Y определяется линией регрессии, показывающей, как в среднем изменяется величина Y при изменении входной величины X, и аппроксимирующая функция строитсякак функция регрессии

f(X, B) M[Y/X],

где B - неизвестные параметры уравнения регрессии.

В общем случае к факторам предъявляются следующие требования:

1) факторами могут быть либо входные, либо режимные переменные и именно они являются аргументами в искомой зависимости: y=f(X);

2) факторы есть количественные параметры, задаваемые численно в какой-либо системе единиц;

3) для численных значений факторов должна быть задана допустимая область их значений;

4) факторы должны быть линейно независимы.

Для выходных переменных необходимо соблюдение следующих условий.

1) уравнения связи между X и y должны быть разрешены относительно y и являться однозначной функцией входных и режимных переменных, что в свою очередь задает область определения выходных переменных;

2) выходные переменные должны быть линейно независимы между собой, в случае если их несколько.

В дополнение к этим условиям необходимо, чтобы целевая функция была выражена количественно и имела конкретный содержательный смысл.

Существует два варианта постановки задачи планирования эксперимента:

из всех допустимых выбрать такой план, который позволял бы получить наиболее достоверное значение функции отклика f(x) при фиксированном числе опытов;

выбрать такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика могла бы быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний.

Решение задачи в первой постановке называется стратегическим планированием, а во второй – тактическим планированием.

5.2. Стратегическое планирование имитационного эксперимента

5.2.1. Цель стратегического планирования эксперимента

Цель стратегического планирования эксперимента – получение максимального объема информации об исследуемой системе в каждом эксперименте (наблюдении). Другими словами, при каком сочетании уровней внутренних и внешних факторов может быть получена наиболее полная и достоверная информация о поведении системы.

При стратегическом планировании должны быть решены следующие основные задачи:

идентификация факторов;

выбор уровней факторов.

Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной (или показатель эффективности).

По итогам идентификации все факторы делятся на 2 группы – первичные и вторичные. Первичные факторы – это те, в исследовании влияния которых заинтересован сам экспериментатор непосредственно. Вторичные факторы – те, что не являются предметом исследования, но их влиянием нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых требований:

уровни факторов должны перекрывать весь возможный диапазон его изменений;

общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования.

Отыскание компромиссного решения – это и есть задача стратегического планирования эксперимента.

Замечания по выбору уровней факторов.

Для любого i -ого фактора следует выбрать границы x _i,min и x _i,max области определения фактора, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта. После определения таким образом некоторой локальной области G заданного факторного пространства, необходимо определить подобласть в G для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня x_i0 и интервала варьирования Dx_i. В качестве исходной точки x_i0 выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе. Причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов x _i,min и x _i,max. На выбор интервала варьирования Dx_i накладываются естественные ограничения:

снизу: интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора;

сверху: верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения G.

Различают два вида активного эксперимента: однофакторный и многофакторный.

В первом случае применяют поочередное варьирование одной из переменных, оставляя остальные на постоянных уровнях. Это так называемый метод Гаусса - Зейделя, при котором требуется проведение большого числа опытов, что, однако, не позволяет определить эффекты парных взаимодействий и не гарантирует при решении задачи поиска оптимума достижения истинного экстремума.

Более эффективным является активный многофакторный эксперимент (далее именно он будет рассматриваться как собственно активный факторный эксперимент), при котором в каждом опыте производится варьирование всеми переменными по определенному плану, что позволяет существенно сократить число опытов.

5.2.2. Способы построения стратегического плана

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для k факторов можно определить как N=L₁*L₂*L₃*…*L_k, где L_i – число уровней i-го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то N=L^k (L – число уровней).

Недостаток ПФЭ – большие временн ы е затраты на подготовку и проведение. Например, в модели отражены 3 фактора, влияющие на значение ПЭ. Каждый фактор имеет 4 возможных уровня (значения). План ПФЭ N=4³=64 эксперимента.

Если при этом каждый эксперимент длится хотя бы одну минуту (с учетом времени на изменение значения факторов), то на однократную реализацию ПФЭ требуется более 1 часа.

Использование ПФЭ целесообразно, если в ходе имитационного моделирования исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели.

Если такие взаимодействия считают отсутствующими, или их эффектом пренебрегают, проводят частичный факторный эксперимент (ЧФЭ).

Рассмотрим некоторые планы ЧФЭ.

Рандомизированный план – предполагает выбор сочетания уровней факторов для каждого прогона случайным образом. При использовании этого метода отправной точкой в формировании плана является число экспериментов, которое считает возможным (или необходимым) провести исследователь.

Латинский план («Латинский квадрат») – используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным и несколькими вторичными факторами.

Суть такого планирования. Если первичный фактор имеет L уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается L уровней. Выбор комбинации уровней факторов рассмотрим на примере.

Пример. Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных фактора В и С, число уровней факторов L=4. Соответствующий план представляется в виде квадратной матрицы LxL (4х4) относительно уровней фактора А. Матрица строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора встречался только один раз. В результате имеем план экспериментов (табл.4.1), требующий 4х4=16 прогонов, в отличие от ПФЭ (4³=64 прогона).

Таблица 5.1. План «Латинский квадрат»

Значение В	Значение С
С1	С2	С3	С4
В1	А1	А2	А3	А4
В2	А2	А3	А4	А1
В3	А3	А4	А1	А2
В4	А4	А1	А2	А3

Эксперимент с изменением факторов по одному. Суть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все L уровней, а остальные (n-1) факторов поддерживаются постоянными. Такой план обеспечивает исследование эффектов каждого фактора в отдельности, и требует всего N=L₁+L₂+L₃+…+L_n прогонов (L_i – число уровней i-го фактора).

Для рассмотренного выше примера N=4+4+4=12.

Одна из возможных реализаций такого плана приведена в таблице 5.2.

Таблица 5.2 ЧФЭ с изменением факторов по одному

В1,С1	А2,С2	А3,В3
А1	В1	С1
А2	В2	С2
А3	В3	С3
А4	В4	С4

Такой план применим (как и любой ЧФЭ) только при условии отсутствия взаимодействия между факторами.

Дробный факторный экспери мент. Каждый фактор принимает значения только двух уровней – нижнего (-1) и верхнего (+1). Промежуточные уровни не рассматриваются. Общее число вариантов эксперимента N=2^k, где k – число факторов. Матрицы планов эксперимента для k=2 и k=3 приведены в таблицах 5.3 и 5.4 соответственно.

Таблица 5.3. План эксперимента (k=2)		Таблица 5.4. План эксперимента для k=3
№ экспе-римента	Значения факторов		№ экспе-римента	Значения факторов
Х1	Х2		Х1	Х2	Х3
	-1	-1			-1	-1	-1
	-1	+1			-1	-1	+1
	+1	-1			-1	+1	-1
	+1	+1			-1	+1	+1
					+1	-1	-1
					+1	-1	+1
					+1	+1	-1
					+1	+1	+1

Для такого вида факторного эксперимента имеется возможность определить коэффициенты, стоящие не только непосредственно при одиночных значениях факторов в уравнении регрессии, но и коэффициенты для компонент, отражающих взаимодействие различных факторов (табл.5.5).

Таблица 5.5

№ опыта	Значения факторов
X1	X2	X3	X1X2 *)	X1X3	X2X3	X1X2X3
	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1
	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

*) Значения переменных в столбцах взаимодействий получаются путем перемножения соответствующих переменных, составляющих данное произведение.

Планы, построенные по такому принципу, обладают свойствами симметричности, ортогональности, нормированности, обеспечивая повышение качества проводимых экспериментов.

5.3. Тактическое планирование экспериментов

Совокупность методов установления необходимого объема испытаний относят к тактическому планированию экспериментов.

Поскольку точность оценок наблюдений переменной характеризуется ее дисперсией, то основу тактического планирования экспериментов составляют так называемые методы понижения дисперсии.

Так как ИМ представляет собой статистический эксперимент, то при его проведении необходимо не только получить достоверный результат, но и обеспечить его «измерение» с заданной точностью. В общем случае объем испытаний (величина выборки), необходимый для получения оценок наблюдаемой переменной с заданной точностью, зависит от следующих факторов:

вида распределения наблюдаемой переменной у;

коррелированности между собой элементов выборки;

наличия и длительности переходного режима функционирования моделируемой системы.

Если исследователь не обладает перечисленной информацией, то у него остается единственный способ повышения точности оценок истинного значения наблюдаемой переменной – многократное повторение прогонов модели для каждого сочетания уровней факторов, выбранного на этапе стратегического планирования. Такой подход получил название – формирование простой случайной выборки (ПСВ). Другими словами, при использовании ПСВ каждый пункт плана повторяется определенное число раз.

При таком подходе общее число прогонов модели, необходимых для достижения цели моделирования, равно Nc*N_T, где Nc – число сочетаний уровней факторов по стратегическому плану, а N_T – число прогонов модели для каждого сочетания, вычисленное при тактическом планировании.

Например, если для ПФР Nc=64, а для обеспечения требуемой точности оценок Nт должно быть равно Nт=20, то общее число прогонов 1280. Требуемое время для проведения испытаний (по 1 мин. на каждое), более 20 часов. Поэтому, при использовании ПСВ до начала испытаний необходимо определить тот минимальный объем выборки, который обеспечит требуемую точность расчета.

Если случайные значения наблюдаемой переменной не коррелированны и их распределение не изменяется от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным. В этом случае число прогонов Nт, необходимое для того, чтобы истинное среднее наблюдаемой переменной лежало в интервале Y± b с вероятностью (1-a), определяется следующим образом Nт=где Z – значение нормированного нормального распределения, которое определяется по справочной таблице при заданном уровне значимости a/2; D_y – дисперсия; b – доверительный интервал.

Если требуемое значение Dy до начала эксперимента неизвестно, целесообразно выполнить пробную серию из L прогонов и вычислить на ее основе выборочную дисперсию, значение которой подставляется в формулу и получают предварительную оценку числа прогонов Nт. Затем выполняют оставшееся (Nт-L) прогонов, периодически уточняя оценку и число прогонов Nт.

5.4 Вопросы для самоконтроля

Понятие фактора, факторного пространства

Задачи стратегического и тактического планирования

Полный факторный эксперимент

Планы частичных факторных экспериментов

Формирование простой случайной выборки