Введение. Все человеческое познание, так или иначе, направлено на решение двух задач – экспертной и конструктивной

Все человеческое познание, так или иначе, направлено на решение двух задач – экспертной и конструктивной.

Экспертная задача – на основании известных данных о настоящем моменте описать прошлое или предсказать будущее (ответы на вопросы «что было бы, если…?», «что будет, если..?», «что происходит, если…?»)

Конструктивная задача – создать нечто новое с заранее заданными свойствами (вопрос этой задачи «как сделать, чтобы…?»)

Основной инструмент решения этих задач (а, значит, и основной инструмент познания) – моделирование объектов.

При научном подходе, на уровне рационального исследования, мы имеем дело не с реальной действительностью, а со структурами – абстракциями от материальных объектов (рис.1).

Рис.1 Схема научного познания

Реальные ситуации обычно бесконечно сложны, и абстракция применяется для того, чтобы эту сложность ограничить и дать тем самым возможность принимать решения. С помощью абстрагирования человек строит формальные модели самых разнообразных объектов, понятий, процессов, явлений, сущностей реального мира. Такие формальные модели далее допускают преобразование и анализ с помощью формальных же средств. При таком анализе человек остается в рамках построенной им знаковой системы, абстрагируясь от реальных объектов.

Формальные модели позволяют выразить некоторые существенные свойства объекта в точных терминах математических определений и аксиом так, чтобы затем можно было «вывести» характеристики построенной модели, которые объясняют известные и предскажут новые свойства исследуемой реальной сущности.

Основные черты современного математического моделирования связаны с тем, что в последнее десятилетие математическое моделирование быстро теряет «академические» черты чисто научного и узкопрофессионального направления. Эти изменения, в основном, определяются возрастанием информационного потенциала науки и общества в целом, компьютеризацией и резким ускорением сетевых коммуникаций.

Модель нужна не только и не столько для того, чтобы «найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т.д.» [2]. В настоящее время все чаще модель рассматривается как элемент целостной постановки задачи управления, и все в большей степени становится технологическим инструментом ее решения.

Создание модели нужно не само по себе, а для решения практических задач, что только и может оправдать затрату сил на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать!

Основные понятия теории моделирования

1.1 Понятие модели. Виды моделей

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом или другим объектом (моделью), и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели.

Существуют различные варианты типизации моделей, в зависимости от выбран­ного классификационного признака.

В соответствии с двумя видами задач познания (экспертной и конструктивной) существует и два вида моделей (рис.1.1). Для решения экспертной задачи моделируется уже существующая (существовавшая) система. Получившаяся модель будет познавательной. Для решения конструктивной задачи нужно создать модель системы с заданным свойством. Такая модель называется прагматической.

	Цель (человека)

ЗАДАЧИ (инструмента)
Экспертная Что будет (было), если…	Конструктивная Как сделать, чтобы…

Инструмент – МОДЕЛЬ (отображение свойств объекта)
Познавательная	Прагматическая

Рис. 1.1 Соотнесение цели, задач и моделей

По степени абстрагирования от оригинала модели делятся на два больших класса: физические (аналоговые) и математические.

Физические модели (макеты), классификация которых приведена на рис.1.2, предполагают реальное воплощение свойств оригинала. Например, при проектировании самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки изготавливается архитектурный макет; аналоговая модель Земли – глобус.

Рис.1.2 Классификация физических моделей

Математические модели представляют собой формализованное описание системы (процесса) с помощью некоторого абстрактного языка, например, в виде совокупности математических отношений или схемы алгоритма. По большому счету любое математическое выражение, в котором фигурируют физические величины, можно рассматривать как математическую модель. Например, S=v*t – модель равномерного прямолинейного движения. Элементы математического моделирования возникли на самых ранних этапах зарождения математики.

В зависимости от метода исследования математические модели разделяют на: аналитические, численные и имитационные.

Аналитическая модель – это точное формализованное описание системы, которое позволяет получить решение в явном виде, используя математический аппарат.

Численная модель допускает только частичные численные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров модели.

Имитационная модель – это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Причем алгоритмы и правила не дают возможности реализации с помощью математических аналитических и численных методов, но сами алгоритмы позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить измерения интересующих характеристик.

В зависимости от степени детализации математические модели разделяют на микро-, макро- и мета- уровневые (рис.1.3).

Математическая модель на микроуровне отражает процессы в непрерывном пространстве и непрерывном времени. На макроуровне уровне происходит дискретизация пространства по функциональному признаку, но для непрерывного времени. На метауровне в качестве элементов системы выступают сложные совокупности деталей.

1.2. Общие вопросы моделирования систем

В общем случае объектом-оригиналом может быть некоторая естественная или искусственная система. Любая система состоит из компонентов и связей между ними, а также их связей с внешней средой.

Компонент (элемент) системы – один из объектов, входящих в систему. Он осуществляет некие преобразования входов в выходы. Входы и выходы могут быть пространственными и временн ы ми, причем временн о й вход есть причина, а временн о й выход – следствие. Например, у объекта «проводник», пространственный вход электрического тока – обмотка генератора, а выход – потребляющее устройство. Временной же вход в него – это напряжение, а выход – ток.

Законы преобразования входов компонента в выходы называются функцией компонента, а сам процесс преобразования – его функционированием. Например, функцией проводника может быть передача электрической энергии от источника к потребителю, или величина тока, которую пропускает проводник при данном напряжении.

Функция может быть описана количественно. Тогда говорят о математической функции. Например, для количественного описания проводника с током нужно математически выразить зависимость силы тока от напряжения: I = f (U), где I – сила тока, U —напряжение. Для простого проводника такая функция линейна и называется законом Ома: I=U/R, где R – сопротивление. Для полупроводников эта математическая функция носит более сложный характер. Математическая функция – основной инструмент математического моделирования систем. Математическая модель в этом случае есть система взаимосвязанных математических функций, призванная решить задачу «каково будет значение одних параметров при определенном значении других».

Связь, с точки зрения структуры системы, формирует эту самую структуру. С точки зрения функционирования системы, она преобразует выход одного компонента во вход другого. Основное ее отличие от компонента заключается в том, что это преобразование тривиально. То есть, если компонент существенно изменяет поток, то связь его существенно не изменяет. Например, провод в радиоприемнике существенно не изменяет протекающий через него ток, а вот транзистор – изменяет. Поэтому транзистор будет компонентом, а провод – связью.

В зависимости от задачи один и тот же объект можно моделировать как компонент, а можно – как связь. (Моделирование радиоприемника, моделирование энергосистемы – объект «провод»).

Связи также могут быть пространственными (структурными) и временн ы ми (причинно-следственными). Структурные связи обеспечивают порядок в пространстве, в то время как причинно-следственные – порядок во времени. Это всегда следует учитывать при моделировании систем: любая система имеет как пространственную структуру (сетка структурных связей), так и временн у ю (сетка причинно-следственных связей), и они взаимно определяют друг друга.

Модели систем, как правило, многоуровневые. Простейший уровень модели – модель «черного ящика». Это модель, не рассматривающая внутреннее устройство системы, а описывающая только внешние связи и функции системы. По внешним данным «черного ящика» и его реакции на внешние воздействия можно судить о его внутреннем устройстве, но суждение будет ненадежным, особенно для предсказания поведения системы в различных условиях.

Если начинать забираться внутрь «черного ящика», то модель системы становится иерархической. Теперь это уже набор некоим образом взаимосвязанных «черных ящиков». Поскольку все системы иерархичны, в каждый «черный ящик» можно углубляться; модели, состоящие из нескольких «черных ящиков» можно компоновать и создавать, таким образом, многоуровневые модели.

Все модели систем (в т.ч. и «черного ящика») делятся на два принципиально разных типа: статические и динамические. Статические модели не описывают процесс функционирования системы. Это, как правило, структурная модель, описывающая элементы с их характерами, системообразующие связи и потоки, идущие по этим связям (например, чертеж изделия, электрическая схема и т.п.). Динамическая модель описывает зависимость изменения различных свойств системы от времени, а также от начальных и граничных условий. Тем самым, динамическая модель отображает причинно-следственные связи.

Один из частных случаев динамической модели – параметрическая модель, описывающая влияние различных параметров системы друг на друга. Параметрическая модель оказывается очень ценной для предсказания развития системы при изменении внешних параметров. Параметрическая модель состоит из различных параметров, связанных взаимным влиянием. При этом влияние может выражаться математически с различной степенью строгости. Оно может выражаться математическим выражением, а может только знаком влияния: (+), если исходный параметр приводит к увеличению конечного (чем больше исходный, тем больше конечный); (-) – к уменьшению (больше исходный – меньше конечный).

Параметрическая модель не обязательно соответствует структурно-функциональной. Например, одному элементу структурной модели может соответствовать несколько параметров и т.п. На рис.1.4 приведена упрощенная параметрическая модель популяции в условиях неограниченного ресурса пищи.

1.3. Основные требования к моделям

Независимо от вида модели к ней предъявляются следующие основные требования – адекватности и экономичности.

Адекватность модели – есть соответствие действительности предсказаний, сделанных на основе моделей, и соответствие целям проектов, построенных на основе моделей. Все модели в той или иной степени неадекватны. Для повышения адекватности моделей их необходимо верифицировать (verify (англ.) – проверять ), то есть отслеживать расхождения предсказаний модели с действительностью и вносить в модель изменения, после чего снова сравнивать и т.д. (рис.1.5).

Механизм верификации – основное отличие научных моделей от всех остальных. Если модель не позволяет вывести сценарий или проект, или выведенный сценарий или проект невозможно сравнить с действительностью, или в модель невозможно внести изменения, которые сделают ее более адекватной, то такую модель нельзя считать научной.

Кроме адекватности к модели предъявляется еще одно важное требование – экономичности. То есть решение задач с использованием модели должно занимать как можно меньше времени, энергии, материалов и т.п. В самом деле, какой смысл в познавательной модели атмосферных процессов, если для построения сценария (прогноза погоды) на следующий день требуются расчеты в течение двух дней?

Фундаментальный прием для повышения экономичности моделей называется «бритвой Оккама»: «Не множь сущностей без необходимости». Иными словами, если десять явлений могут быть адекватно описаны одной моделью, то не нужно придумывать свою модель для каждого явления. Если движение всех предметов, поднятых над поверхностью земли, описываются одной формулой, то не нужно каждому предмету ставить в соответствие его астральную сущность и говорить о движении под влиянием далеких звезд на астральную сущность.

Требования адекватности и экономичности, предъявляемые к одной и той же модели, противоречат друг другу. А, именно, поскольку качество любого объекта проявляется во множестве свойств, которые взаимосвязаны между собой, адекватная модель должна отражать как можно больше свойств. Однако чем больше свойств отражает модель, тем она сложнее, а, значит, тем труднее с ней работать, то есть тем менее она экономична. Поэтому никто и никогда не строит единую модель Мира – она будет крайне неэкономичной.

Строят какие-то частные модели, отображающие те или иные свойства, существенные для решения той или иной задачи. Для каждой такой модели существует область применимости, то есть набор объектов и свойств, которые описываются моделью адекватно. Границы области применимости в общем случае «размыты». Если границы применимости модели известны, они обязательно должны быть указаны.

1.4. Принципы моделирования

1. Принцип осуществимости – создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от 0, и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение Р₀ вероятности достижения цели моделирования P(t), а также приемлемую границу t₀ времени достижения этой цели. Модель считают осуществимой, если P(t₀) ³ P₀. Принцип осуществимости обусловлен, прежде всего, требованием экономичности.

2. Принцип множественности (дополнительности) моделей. Это один из ключевых принципов. Из того, что применимость любой модели ограничена, следует, что для полного описания объекта недостаточно какой-то одной модели. Соответственно, при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс. Например, электрон можно моделировать частицей с определенной массой и радиусом, а можно – волной с определенной волновой функцией. В зависимости от условий та или иная модель оказывается наиболее адекватной.

3. Принцип информационной достаточности – при полном отсутствии информации о системе построение модели невозможно. При наличии полной информации – не имеет смысла (хотя такого рода модели строят для целей обучения – тренажеры, макеты). Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе, при достижении которого может быть построена модель.

4. Принцип агрегирования (декомпозиции). В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром (в т.ч. векторным). Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими численными величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или формулы. Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Но надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели.

Действительная польза от моделирования может быть получена при соблюдении следующих условий:

модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных для решения данной задачи;

модель позволяет устранить проблемы, присущие измерениям на реальном объекте.

1.5 Вопросы для самоконтроля

1. Понятия «модель» и «моделирование».

2. Классификационные признаки и виды моделей.

3. Понятия «компонент» и «связь» при моделировании систем.

4. Статические, динамические, параметрические модели систем.

5. Основные требования к моделям.

6. Принципы моделирования.