Упражнения к разделу 6

6.1 Примеры

Нарисовать фазовый портрет каждой из следующих систем (, - полярные координаты).

1. ; 2. ; 3. .

4. .

5. Показать, что система эквивалентна системе

.

6. Рассмотреть систему и положить . Используя начальные условия , , сделать набросок графика , не решая соответствующего уравнения.

7. Рассмотреть уравнение , где .

(а) Найти все неподвижные точки и определить их тип;

(б) Показать, что уравнение задает предельный цикл в форме окружности и найти его амплитуду и период;

(в) Исследовать устойчивость предельного цикла;

(г) Показать, что не существует других периодических траекторий.

6.2 Градиентные системы

Нарисовать фазовые портреты систем .

1. ; 2. ; 3. .

4. Показать, что все векторные поля на прямой задаются градиентными системами.

5. Пусть уравнения , задают гладкое векторное поле на фазовой плоскости. Покажите, что если это градиентная система, то .

6. Пусть дана градиентная система. Найти потенциальную функцию используя следующие соображения. Предположим, что , . Тогда из следует, что

и .

Из этих соотношений найти для нижеследующих систем:

(а) ; (б) .

7. Рассмотреть систему .

(а) Показать, что ;

(б) Найти ;

(в) Нарисовать фазовый портрет.

8. Показать, что траектории градиентной системы всегда пересекают линии уровня этой системы (т.е. линии ) под положительным углом.

9. Для каждой из следующих систем определить, является ли она градиентной. Если «да», то найти и нарисовать фазовый портрет с линиями уровня ().

(а) ; (б) ; (в) .

10. Показать с помощью функции Ляпунова , что система не имеет замкнутых орбит.

11.Показать, что положительно определена тогда и только тогда, когда и .

12. Показать, что система

не имеет периодических решений (выбрать и так, чтобы была функцией Ляпунова).

13. Рассмотреть систему .

(а) Показать, что имеется три неподвижных точки и определить их тип;

(б) Показать, что система не имеет замкнутых орбит;

(с) Нарисовать фазовый портрет.

14. Рассмотреть систему

.

Известно (см. Пример 6.2.4), что система не имеет замкнутых орбит.

(а) Найти неподвижные точки и расклассифицировать их по типам;

(б) Нарисовать фазовый портрет.

6.3 Теорема Пуанкаре-Бендиксона

1. Рассмотреть систему

.

(а) Исследовать неподвижную точку в начале координат;

(б) Переписать систему в полярных координатах учитывая, что

и ;

(в) Найти окружность максимально возможного радиуса с центром в начале координат и такую, что все траектории, пересекающие ее, удаляются от начала координат;

(г) Найти окружность с наименьшим возможным радиусом и центром в начале координат, такую, что все траектории, пересекающие ее, приближаются к началу координат;

(д) Доказать, что система имеет предельный цикл в кольце .

2. Используя компьютер найти предельный цикл в Упр.1 и убедиться, что он лежит в указанном кольце.

3. Показать, что система имеет периодическое решение.

4. Рассмотреть систему

.

(а) Показать, что начало координат – неустойчивая неподвижная точка;

(б) Используя , где , показать, что все траектории системы приближаются к эллипсу при .

5. Показать, что система

имеет по крайней мере одно периодическое решение.

6. Рассмотреть уравнение осциллятора

,

где , если , и , если , и .

(а) Дать физическую интерпретацию условий для функции ;

(б) Показать, что имеется по крайней мере одна замкнутая орбита в кольце .

7. Рассмотреть систему

,

Где и - параметры и .

(а) Переписать систему в полярных координатах;

(б) Доказать, что существует по крайней мере один предельный цикл, а если их несколько, то все они имеют один и тот же период ;

(в) Доказать, что при имеется только один предельный цикл.

8. Рассмотреть систему (Упр. 1). Используя компьютер, нарисовать фазовый портрет системы для различных . Существует ли такое значение , при котором замкнутая орбита «разрушается»? Если есть, найти его. Если нет, доказать, что замкнутые орбиты существуют при всех .

9. В Примере 6.3.1 мы применили теорему Пуанкаре-Бендиксона для доказательства существования замкнутой орбиты системы в кольце , для любых .

(а) Для нахождения приближенного значения при , представим в виде

.

Подставляя это разложение в уравнение для и отбрасывая члены, порядка выше первого по , получите уравнение относительно и решите его;

(б) Найти максимальный и минимальный радиусы приближенных орбит и показать, что орбиты лежат в кольце , как и предполагалось;

(в) Сравнить результаты вычисления с помощью численного интегрирования и с помощью процедуры (а). Выявить зависимость их различий от значений .

10. Рассмотреть двумерную систему

,

где и - квадратная матрица с действительными компонентами и комплексными собственными значениями . Доказать, что существует по крайней мере один предельный цикл при и ни одного предельного цикла при .

11. Пусть задает гладкое векторное поле на . Теорема Пуанкаре-Бендиксона утверждает, что если траектория целиком содержится в замкнутой области, то она может приближаться к неподвижной точке, замкнутой орбите, или к некоему экзотическому множеству, называемому циклическим графом (инвариантное множество, состоящее из конечного числа неподвижных точек, соединенных конечным числом траекторий, которые ориентированы либо по часовой стрелке – либо против часовой стрелки). Такое множество редко встречается на практике, но пример легко конструируется.

(а) Построить фазовый портрет системы

,

где – полярные координаты;

(б) Построить траекторию, стартующую вне единичной окружности. Что происходит с фазовой точкой при ?

6.4 Системы Льенара

1. Показать, что уравнение

,

где имеет в точности одно периодическое решение, и определить тип его устойчивости.

2. Рассмотреть уравнение .

(а) Доказать, что система имеет единственный устойчивый предельный цикл при ;

(б) Построить с помощью компьютера фазовый портрет системы при ;

(в) Существует ли предельный цикл при ? Если да, то исследовать его устойчивость.

6.5 Релаксационные колебания

1. Для осциллятора Ван дер Поля с показать, что положительная ветвь линии нулевой производной начинается при и заканчивается при .

2. В примере 6.5.1 мы использовали для анализа осциллятора специальную систему координат (плоскость Льенара). Повторите этот анализ в обычной фазовой плоскости, где и . В чем состоит преимущество плоскости Льенара?

3. Оцените период предельного цикла уравнения

для .

4. Рассмотреть уравнение

,

где для и для .

(а) Показать, что это уравнение эквивалентно системе

,

где – кусочно-линейная функция

;

(б) Нарисовать линии нулевых производных;

(в) Показать, что система проявляет релаксационные колебания при , и нарисовать предельный цикл на –плоскости;

(г) Вычислить период предельного цикла.

5. Найти приближенно период предельного цикла уравнения

при .

6. Предположим, что осциллятор Ван дер Поля подвергается внешнему воздействию посредством постоянной силы:

,

где может быть положительным, отрицательным, или равным нулю. Считаем, что .

(а) Найти и расклассифицировать все неподвижные точки;

(б) При показать, что система имеет устойчивый предельный цикл тогда и только тогда, когда , где подлежит определению;

(в) Сделать набросок фазового портрета для чуть большего, чем . Показать, что система возбудима (имеет притягивающую неподвижную точку, но некие малые возмущения могут вызвать долгие блуждания фазовой точки, прежде чем она вновь окажется близка к неподвижной точке).

6.6 Слабые нелинейные колебания

1. Рассмотреть задачу Коши

, , .

(а) Получить точное решение;

(б) Используя прямое разложение по параметру, найти , и в выражении ;

(в) Содержит ли последнее приближение вековые члены?

2. Рассмотреть задачу Коши

, , .

(а) Найти точное решение;

(б) Используя разложение , найти и ;

(в) Объяснить, почему разложение содержит (не содержит) вековые члены.

Для каждой из следующих систем вида

,

где , найти усредненные уравнения

И исследовать поведение систем. Найти амплитуды и частоты возможных предельных циклов. Если возможно, отыскать точные решения усредненных уравнений и их частные решения при , .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. Рассмотрим уравнение Дюффинга

,

где , , .

(а) Используя консервативность этой системы, выразить период колебаний в виде определенного интеграла;

(б) Разложить подинтегральную функцию в ряд по степеням и определить значения , и в формуле .

10. Рассмотреть уравнение .

(а) Получить усредненные уравнения;

(б) Решить эти уравнения с начальными условиями , и тем самым найти приближенное решение для ;

(в) Решить численно исходное уравнение при , , и представить графики (а) и (б) на одном чертеже.

11. Рассмотреть уравнение маятника

.

Используя метод, приведенный в Примере 6.6.4, показать, что частота малых колебаний при амплитуде задается формулой

;

12. Рассмотрим уравнение Матьё

,

где . Используя метод двух масштабов с медленной переменной показать, что решение становится неограниченным при , если

.

13. Рассмотреть уравнение

,

где , при .

(а) Найти точное решение ;

(б) Положить . Показать, что . Используя метод усреднения, найти приближенное дифференциальное уравнение для и решить его;

(в) Оценить погрешность усредненного решения.

Литература

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981. – 568 стр.

2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. – М.: Наука, 1966. – 568 стр.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 304 стр.

4. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 406 стр.

5. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Москва-Ижевск: «Институт компьютерных исследований», 2002. – 560 стр.

6. Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. – М.: Издательство «Факториал», 1999. – 768 стр.

7. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 528 стр.

8. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 336 стр.

9. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике: Пер. с англ. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 318 стр.

10. Трубецков Д. И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. / Изд. 2-е, испр. И доп. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 240 стр.

11. Шильников Л. П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. – Москва-Ижевск: «Институт компьютерных исследований», 2004. – 416 стр.

12. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 243 стр.

13. Alligood K., Sauer T., Yorke J. CHAOS. An introduction to dynamical system. – Springer, 1996. – 603p.

14. Hirsch M., Smale S., Devaney R. Differential equations, dynamical system, an introduction to chaos. – Elsevier, Academic Press, 2004. – 417p.

15. Lynch S. Dynamical systems with applications using Maple. – Birkhäuser, 2000. – 398p.

16. Strogatz S. Nonlinear dynamics and chaos. – Westview, 2000. – 498p.