Релаксационные колебания

До сих пор мы говорили об условиях, при которых двумерная система имеет периодические решения. Теперь постараемся определить форму периодической траектории, и ее период. Вообще говоря, точный ответ на подобный вопрос получить довольно сложно, но мы можем заменить эти решения на приближенные, если параметр мал (или велик).

Рассмотрим уравнение Ван дер Поля

при . Мы увидим, что предельный цикл складывается из чрезвычайно медленных участков, перемежающихся чрезвычайно быстрыми. Колебания такого вида называются релаксационными. Релаксационные колебания встречаются во многих научных задачах.

Пример 6.5.1

Проанализировать движение фазовой точки на замкнутой траектории для уравнения Ван дер Поля при .

Решение. Прежде всего заметим, что

.

Если сделать замену

,

то из уравнения Ван дер Поля последует

.

Обозначив , мы приходим к системе

.

Еще раз заменим переменную для удобства, и получим

.

Теперь рассмотрим типичную траекторию на фазовой плоскости. Линии нулевых производных играют ключевую роль в понимании динамики системы. Мы утверждаем, что все траектории ведут себя как показано на Рис. 6.5.1.

Для подтверждения этого рисунка предположим, что начальные условия задают точку, не лежащую на графике , т.е. . Тогда из системы следует, что

и

.

Рис. 6.5.1

Следовательно, горизонтальная составляющая скорости много больше вертикальной составляющей. Если начальная точка расположена над линией то и . Значит, фазовая точка смещается вправо почти горизонтально и приближается к линии . В некоторый момент расстояние между фазовой точкой и линией окажется таким, что . Тогда и будут сравнимы по величине, обе порядка . Как только станет равным 0, направление движения фазовой точки изменится на почти вертикальное. Точка будет медленно смещаться вниз вдоль кривой до ее локального минимума (в точке B). Здесь более близка к нулю, чем , поэтому фазовая точка «отрывается» от кривой и (быстро) смещается почти горизонтально влево, к точке С.

Анализ показывает, что предельный цикл имеет 2 различающихся по скорости прохождения участка (состоящих из двух кусков каждый): участок медленного движения и участок быстрого движения .

Пример 6.5.2

Оценить период предельно цикла уравнения Ван дер Поля при .

Решение. Можно считать, что период приблизительно равен времени, затрачиваемому на прохождение двух медленных участков, поскольку время прохождения быстрых участков при очень мало. В силу симметрии мы считаем . Требуется получить выражение для . Поскольку на медленных участках , то получаем

.

Из уравнения следует, что , поэтому

.

Легко видеть, что и , поэтому

.

Заметим, что эта величина сравнима с , как и ожидалось.