Провести построение метода для приближенного решения ЛИУФ-2 с вырожденным ядром

Пример: Составить алгоритм решения интегрального уравнения с приближенной заменой ядра на вырожденное из суммы первых 3-х членов ряда Тейлора.

Рассм. ЛИУФ-2 .

Опр. Ядро называется вырожденным, если оно допускает представление , где – системы лин.нез. функций.

Если ядро вырождено, то ЛИУФ-2 будет иметь вид (4). Обозначим . Тогда (4) примет вид (*)-предполагаемый вид решения, – известны и нужно найти . Для этого (*) подставляется в ЛИУФ-2:

Введем обозначение

(1), (2)=>

. Из лин.нез. .

Получили СЛАУ (E,L – матрицы, r,c-векторы).

(3)

Если все операции интегр. и реш СЛАУ выполняется точно (напр. по ф-м Крамера), то получаем точное решение ЛУФ-2 с вырожденным ядром.

Вывод: При точном инт и точном реш будем приводить точное реш, а если при сложных ф-ях и при большом числе выполнить их приближенно и решать алг систему методом Гаусса, то получим метод приближенного решения, который так же удобен.

Представление произвольного ядра в виде вырожденного.

1 способ: Если ядро явл аналитической ф-ей, то можно его представить в виде отрезка ряда Тейлора со степенными ф-ями:

Для каждого вида такой замены и проводим исследование.

2 способ: разл. ядро в ряд Фурье - сист. ортонорм. ф-й и -коэфф. ряда Фурье. Отбросив хвост ряда получим

3 способ: Интерполирование (с помощью мнг Лагранжа):

, - узлы интерполяции.

.

Пример. Разложим ядро ряд Фурье в окрестности точки 0.

Ограничимся первыми тремя слагаемыми ряда: Получили вырожденное ядро, где в качестве сист. лин.нез. ф-й берется система . В частности,

Теперь осталось посчитать и решить СЛАУ . Тогда приближенное решение данного ЛИУФ-2 запишется в виде