Разностный метод решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

Разностный метод решения ИУФ основан на замене интеграла функции численный интегралом:

погрешность численного интегрирования.
Апроксимация:
для точного решения используем формулу

Если запишем её для сетки аргументов, то мы можем судить о погрешности апроксимаци.

Построим сеточное уравнение для погрешности:
-точное решение для дискретной задачи, -точное решение для исходной задачи на сетке

В правой части получили невязку сеточного уравнения на точном решении исходной задачи.

Определение: сеточное уравнение метода квадратур аппроксимируют ЛИУФ 2-го рода, если и аппроксимируют его с точностью порядка

Лемма об аппроксимации: при дост. Гладкости подынтегрального выражения и при сходимости квадр. процесса равн. по ЛИФУ-2 апроксимируется сеточным уравнением с порядком сходимости квадр. формулы

Доказательство:
, если заменим

-погрешность квадратурной формулы, т.е. . При усл равн сходимостити кв процесса погрешность аппроксимирует для сеточного уравнения стремится к 0.

Устойчивость:
СЛАУ:

Определение: метод квадратур называют устойчивым если , не зависимое от h и f, такое что или для СЛАУ:

, -число обусловленностити, если оно <10, то матрица хорошо обусловлена и означает непр завис реш от входных данных.

, c-диаг матрица из коэффициентов квадр формулы; -матрица, полученная дискретизацией ядра

Сходимость:
Теорема:

1. λ-параметр в ИУФ-2 не является СЗ ядра . Исходная задача задана корректно.

2.Подынтегральная функции достаточно гладкая и квадрат проц сходится . При этом погрешность аппроксимации т.о. квадр метод аппроксимации исходной задачи ЛИУФ-2 с порядком использ квадр формулы.

3. Сет. Уравнение мет квадратур уст и хорошо обусл.

Тогда метод квадратур сходится в смысле:

Доказательство:

-сет уравнение
, по св-ву норм

Пример. Сформировать модельное уравнение Фредгольма второго рода с ядром и точным решением . Построить для него разностную схему методом квадратур с формулой прямоугольников, обеспечивая сходимость и точность .

Общий вид ур-я: Для простоты возьмем (есть множество ур-й с таким решением, нам нужно всего одно).

Подставив в общий вид известные нам функции (неиз. только f(x)):

. Таким образом модельным ур-ем будет: . 1)Теперь постр. для него разн. схему с квадр. форм. прямоуг. (левых): , т.е. 2)Заметим, что формула прямоуг. имеет порядок 3_Согласно методу мы заменим уравнения на линейные: – решая СЛАУ получим прибл. значения искомой функции в узлах.