Интегро-интерполяционный метод (метод баланса)

Простейшая задача: стержень без поперечного сечения, но с массой. Распространение тепла идет вдоль стержня в момент времени. Возникает тепловой поток

k(x)- коэффициент теплопроводности,

u- температура

q(x)- коэффициент теплообмена с окружающей средой

, - плотность источников тепла.

Проинтегрируем на

- уравнение теплового баланса.

- средняя величина

заменим u(x) интерполяционным многочленом 0-ой степени, т.е константой

Для потока рассмотрим формулу: . Проинтегрируем эти выражения

, где

В итоге , где ,

Для решения этой разностной схемы используется метод прогонки с коэффициентами

1. метод неопределенных коэффициентов

2. конечно-разностный метод

3. метод баланса

14. Пример. Методом баланса построить консервативную разностную схему с h=0.1 для краевой задачи

.

Решение:

, (в обозначениях из теории)

15.

Привести постановку линейной и нелинейной краевой задачи для ОДУ 2 порядка. Провести построение метода сведение к решению задачи Коши (метод пристрелки).

Дана линейная краевая задача:

(6)

Могут быть также кр. Усл. 1-го и 2-го рода:1) ; , но случай с усл. 3-го рода – общий.

Для применения метода пристрелки, сделаем замену переменных:

В результате получим систему вида:

(7)

Общее решение системы ОДУ в (7) представим.

(x)

(2)

Для применения метода Руне-Кутты, соответствующие задачи Кошипредставим в виде задач для системы ОДУ первого порядка:

Неоднородной:

Для однородной задачи r(x)=α= получим:

(9)

Чтобы (2)было решением (6) выберем с из краевого условия для точки x=b в (6). По найденному получим

(10)

Решение исходной краевой задачи находим, подставляя

Пример: решить методом пристрелки: y’’+98.1siny=0, y’(0)=0, y (1)= .

Делаем замену . Краевые условия запишем в виде:

. Тогда нам нужно решить две задачи Коши:

неоднородная задача:

однородная:

Замечание: уравнения однородны и в первом и во втором случаях, разл. только нач. усл.

Решение будем произв, например, методом Р.-К. 4-го порядка точности:

Представив системы в векторном виде применяем формулы метода Р.-К.

,

После тог, как алгоритм Р.-К. отработал мы получим . Тогда . И, наконец,

16. Дано ЛИУФ-2. Провести построение численного метода квадратур приближенного решения. В чем состоит интерполирование по ядру?

Пример: Используя квадратурную формулу трапеций, построить алг метода квадратур для решения с точностью интегрального уравнения

Числ мет реш ИУ: К ЛИУ относится ур-е Фредгольма 2 рода Ур-е им ед решенеие в том случае, если не является СЗ ядра К. а,b, , f(x), u(x) – входные данные

- если есть реш ≠ 0, то пар-ры явл СЗ ядра

Метод квадратур:

Числ метод прибл реш ИУФ, ИУВ основан на замене интеграла формулами числ интегрирования

,

– погрешность числ интегрирования. Коэфф с образуется из величин, зависящих от шага (коэф кв формулы), S- узлы кв формулы.

Распростран. явл.формулы Ньютона-Котеса(где h=const), к ним относятся ф-лы:

1.средн. прямоугол, кот им вид , коэф =h, h=(b-a)/n,

2. Ф-ла трапеций: , где

3.Ф-ла Симпсона:

, , если lim и не зависит от способа разбиения отрезка, то этот интеграл определенный.

Построение метода квадратур: Рассмотрим . Для построения дискр модели предполагаем, что нам изв точное решение ИУ: u*(x), тогда для него запишем: u*(x)- =f(x)+ (, k, c, u*), F(x)=k(x.S)u(s)

Отбрасываем погрешность: (x)- *=f(x)

Получим линейные (сеточные) ур-я:

Каждое из них завясит от шага, как от пар-ра (шаг зависит от разбиения) => получили семейство сеточных ур-й (сеточная схема).

≈ u*()-прибл к точному решению.

Получили СЛАУ, кот можно решить методом Гаусса. Запишем в векторном виде:

Тогда для разрешимости ур-я предполагаем, что СЗ А не совп. с СЗ ядра К, т.е. (*)

Интерполирование по ядру: Воспользуемся (*) Для построения алг: . Строим: . Сначала получаем

, затем по ним получаем . Если взять и рассматривать как узлы интерполяции, то получим интерпол мнг (т.е значение ф-ии в узлах интерполяции совпадает со значением интерпол мнг)

Сеточное ур-е приближается к ЛИУФ-2, т.е имеет место устойчивость и аппроксимация.