Провести построение разностной схемы Рунге-Кутта с погрешностью аппроксимации 2-го порядка точности

Виробник не несе ніякої відповідальності у разі недотримання користувачем вищевикладені рекомендацій або при неналежному використанні телефону і його аксесуарів.

Якщо дана інструкція не відповідає Вашому телефону - зверніться до продавця або в сервісний центр.

Компанія має право вносити зміни до цих інструкції і конструкцію телефону без попереднього повідомлення.

Дать определение погрешности решения, погрешности аппроксимации, аппроксимации и сходимости разностной схемы. Провести исследование аппроксимации и сходимости явной и неявной разностной схемы метода Эйлера.

Пример. Аппроксимирует ли разностная схема

Задачу Коши (ЗК) . С каким порядком?

Общий случай: - разностная схема, L(u)=0 – непр. задача, y – точное решение разностной схемы, u – точное решение ЗК.

Величина наз погрешностью аппроксимации разностной схемы исх задачи. (Смысл опр: хотим определить, насколько дискретная модель отличается от исходной)

Погр аппрокс разностной исх зад на точном решении равна невязке.

Математическое понятие аппроксимации: Разностная схема аппроксимирует исходную задачу, если , аппроксимация порядка P, если (т.е при бесконечном дроблении сетки арг )

Для метода Эйлера p=1

Уст разностной схемы

Запишем

Разностная схема устойчива, если , не зависящие от h и выбора u_0 и f, что им место нер-во а) если , а , то имеет место ; б) , то имеет место уст по правой части

Если шаг то – уст по начальным данным.

Если шаг (), то условная устойчивость.

Всё сказанное справедливо и для систем ДУ, только вместо абс вел-ны ставим норму.

Сходимость разностных схем и погрешность.

Теорема: Пусть исх зад z(u)=0 пост корр-но и разн схема аппроксимирует разн схему с пар-ом , h → 0. И пусть разн сх уст, тогда разн сх сх-ся, т.е h → 0. Причем сх-ся с порядком = погрешности аппрокс-ии

Док-во: подставим в разн сх метода Эйлера:

Из усл. устойч.: и на основании леммы (из уст. по нач. данным след. уст. по пр. части) и (*) . С другой стороны р.сх. также аппрокс. решение, т.е. с порядком р . (В случае разн. сх. Эйлера р=1).

Замечание: 1. Из сходимости разн сх => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответствующим дроблением сетки аргумента; 2. Из полученной оценки погрешности (*) =>что порядок погрешности носит суммарный или глобальный характер. Поэтому будем рассматривать как глобальную погрешность.

Разн сх является корректно заданной, если она аппрокс уст и сх-ся. Разн сх Эйлера условно уст (шаг выбирают из условия – оценка правой части). Нужно выбирать маленький шаг, чтобы если функция решения сильно изменится, не изменилась правая часть на большую величину.

Пример: да аппроксимирует с порядком p=1. (т.к. это р.сх. Эйлера, а для нее доказано, что погрешность аппроксимации ).

Определить локальную и глобальную погрешность решения задачи Коши разностным методом. Провести построение метода Рунге получения апостериорной погрешности решения. Как используется метод Рунге для автоматического выбора шага сетки аргумента.

Сходимость разностных схем и погрешность.

Теорема: Пусть исх зад L(u)=0 пост корр-но и разн схема аппроксимирует разн схему с пар-ом , h → 0. И пусть разн сх уст, тогда разн сх сх-ся, т.е h → 0. Причем сх-ся с порядком = погрешности аппрокс-ии

Док-во: подставим в разн сх метода Эйлера:

Нашли, что усл устойчиво: и на основании леммы, что правая часть уст (*)

из условия теоремы об устойчивости: т.к аппрокспорядка р, то , в случае разн сх Эйлера р=1.

Замечание: 1. Из сходимости разн сх => что мы можем получить решение с любой наперед заданной точностью. Она будет достигнута соответствующим дроблением сетки аргумента; 2. Из полученной оценки погрешности (*) =>что порядок погрешности носит суммарный или глобальный характер. Поэтому будем рассматривать как глобальную погрешность.

Разн сх является корректно заданной, если она аппрокс уст и сх-ся. Разн сх Эйлера условно уст (шаг выбирают из условия – оценка правой части). Нужно выбирать маленький шаг, чтобы если функция решения сильно изменится, не изменилась правая часть на большую величину.

Построение разностной схемы с переменным шагом h.

Введём понятие локальной погрешности.

Опр. Погрешность локальная (на шаге) определяется так:

- получение конечного решения разностной схемы с точным начальным условием.

Для м. Эйлера:

Проведём исследование локальной погрешности в виде порядка малости шага h.

Пусть

Представим локальную погрешность используя формулу Тейлора (на шаге):

Обобщим для метода порядка

Опр. называется главным членом локальной погрешности. называется избыточной гладкостью решения (т.к для оценки погрешности нужно брать степеней , а тут ).

Правило или метод Рунге.

На отрезке длиной h с н.у.

Чтобы исп. формулы для получения практического решения нужно из оценки исключить неизвестную величину .

Из 2 вычитаем 1:

- мы м. получить её реально при вычислениях и оценить локальную погрешность.

На основании этого строится схема вычисления локальной погрешности на каждом шаге, если задана точность и после вычисления величин окажется, что , тогда применим автоматический выбор шага.

Автоматический выбор шага.

Используется для получения заданной точности решения в каждой точке аргумента.

Это адаптивная (самонастраиваемая) процедура.

Если

При каких-то .

Получим и решение дальше, но функция меняется и шаг может быть не экономичен, тогда мы удваиваем шаг. И если получаем, что

не изменяем.

Пример. Привести алгоритм автоматического выбора шага аргумента при решении методом Эйлера задачи Коши

Запишем разностную схему:

. Пусть

Тогда согласно методу Рунге считаем на каждой итерации один раз с шагом h и два раза с шагом h/2. Затем берем разность полученных значений как оценку погрешности (надо делить на – для метода Эйлера p=1, т.е. делить не нужно). Примерный алгоритм автоматического выбора шага:

1) ;

2) .

. Если то и повторяем шаг. Если , то и переходим к следующей итерации. В противном случае переходим на следующую итерацию, не меняя шаг.

.

3) . .

.......................................................

И продолжаем цикл до тех пор, пока не найдем значения в точке 7 (пока ).

Провести построение разностной схемы Рунге-Кутта с погрешностью аппроксимации 2-го порядка точности.

Пример. Построить такую разностную схему с точностью аппроксимации 10^-3 для задачи

Ответ:

Рассмотрим задачу Коши для ДУ:

Интегрируем уравнение на очень малом шаге :

По формуле левых прямоугольников:

Если то получим:

Можно использовать: .

Тогда замена будет

В этом случае надо решать нелинейное уравнение для нахождения . Это нелинейное уравнение – решать методом Ньютона (например) эта формула неэкономична.

Тогда будем решать:

– формула одношаговая, т.к. для нахождения последующего значения нужно знать одно предыдущее; формула явная (т.к. нет нелинейных уравнений) и здесь - выбираются таким образом, чтобы совокупность этих формул давала погрешность аппроксимации 2-го порядка малости по h и чтобы разн. схема сходилась по h и была устойчивой.

Найдем . Заметим, что .

Разностную схему представим в следующем виде:

Вспомним, что погрешность аппроксимации = невязке разностной схемы на точном решении:

Стандартный прием – разложение в ряд всех точных решений, встреч. в этой записи.

Пусть . Тогда :

а) -ограниченные величины, поэтому порядок малости .

б) представим по формуле Тейлора

Подставим а), б) в выражение погрешности аппроксимации:

1) , тогда погрешность аппроксимации будет второго порядка малости

– формула Рунге-Кутта 2-го порядка. Она 2-х этапная, одношаговая, явная:

Данная формула также называется «предиктор-корректор».

2)

–формула Рунге-Кутта, одношаговая, явная 2-х этапная.

Итак, теперь , а из того, что следует, что и разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком h.

Пример. Построим такую разностную схему с точностью аппроксимации 10^-3 для задачи

Так как , то .

В нашем случае .