Функции распределения, используемые в эконометрии

В силу центральной предельной теоремы математической статистики, ошибки измерения и “остатки”, необъясняемые “хорошей” эконометрической моделью, имеют распределения близкие к нормальному. Поэтому все распределения, используемые в классической эконометрии, основаны на нормальном.

Пусть - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым мат. ожиданием и единичной дисперсией (). Функция плотности распределения ее прямо пропорциональна (для наглядности в записи функции плотности вместо z использован символ-имя самой случайной величины); 95 -процентный двусторонний квантиль равен 1.96, 99 -процентный квантиль - 2.57.

Пусть теперь имеется k таких взаимно независимых величин . Сумма их квадратов является случайной величиной, имеющей распределение c k степенями свободы (обозначается ). 95 -процентный (односторонний) квантиль при k=1 равен 3.84 (квадрат 1.96), при k=5 - 11.1, при k=20 - 31.4, при k=100 - 124.3.

Если две случайные величины и независимы друг от друга, то случайная величина имеет распределение t -Стъюдента с k степенями свободы (). Ее функция распределения прямо пропопорциональна ; в пределе при она становится нормально распределенной. 95 -процентный двусторонний квантиль при k=1 равен 12.7, при k=5 - 2.57, при k=20 - 2.09, при k=100 - 1.98.

Если две случайные величины и не зависят друг от друга, то случайная величина имеет распределение F -Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы (). 95 -процентный (односторонний) квантиль при k₂=1 равен 161, при k₂=5 - 6.61, при k₂=20 - 4.35, при k₂=100 - 3.94 (квадраты соответствующих ); квантиль при k₂=1 равен 200, при k₂=5 - 5.79, при k₂=20 - 3.49, при k₂=100 - 3.09; квантиль при k₁=3 равен 3.10, при k₁=4 - 2.87, при k₁=5 - 2.71, при k₁=6 - 2.60.