Раздел №9 вопрос5.Метрические пространства

Множество называется метрическим пространством, если любой паре его элементов поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое расстоянием между элементами и , удовлетворяющее следующим свойствам (аксиомам расстояния):

1) тогда и только тогда, когда ;

2) ;

3)

Аксиома 3) обычно называется неравенством треугольника.

Функцию от двух аргументов , будем называть еще метрикой пространства .

Легко видеть, что -мерное пространство с метрикой

,

где , является метрическим пространством.

Множество всех непрерывных функций, заданных на , будет метрическим пространством, если метрику ввести по формуле

(1)

Аксиомы расстояния легко проверяются.

В дальнейшем выражение будет обозначать некоторую последовательность элементов . Таким образом, обозначает элемент, имеющий номер , а не степень элемента .

Элемент есть предел , если

.

Последовательность в этом случае называется сходящейся.

Последовательность называется фундаментальной, если такое, что

при .

Если последовательность сходится к , то она фундаментальная. В самом деле, из сходимости к следует, что для любого найдется такое, что . Поэтому на основании неравенства треугольника

при .

Обратное утверждение не всегда верно. Например, если есть интервал и , то - фундаментальная последовательность. Но она не сходится к элементу пространства (она сходится к нулю, который не принадлежит ).

Предельные и изолированные точки. Определения.

Определение 5. Изолированная точка — существует

проколотый открытый шар с центром в этой точке,

непересекающийся с этим множеством.

Определение 6. Предельная точка — любой открытый шар с

центром в этой точке содержит точку этого множества,

отличную от данной.

Определение 7. Окрестностью точки метрического

пространства называется любое множество, содержащее

данную точку вместе с некоторым открытым шаром.

Определение 8. Открытой окрестностью точки называется

произвольное открытое множество, содержащее данную точку.

Лемма о топологии.

Лемма

(i) Объединение любого числа открытых множеств и

пересечение конечного числа открытых множеств —

открытое множество;

(ii) Пересечение любого числа и объединение конечного числа

замкнутых множеств — замкнутое множества;

(iii) Само пространство Х и ∅ — открыто–замкнутые

множества.

Определение 9. Пересечение всех замкнутых множеств,

содержащих множество А, называется замыканием множества

и обозначается как .

Справедливы следующие свойства замыкания множества,

которые мы без доказательств собрали в одной лемме.

Лемма

(i) А ⊂ , = две черт.;

(ii) = ∪ ;

(iii) ∅ = ∅, = Х;

(vi) вообще говоря, ∩ .