Раздел №9 вопрос 4. Нормированные пространства

Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое , причем при этом выполнены следующие условия:

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние . Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1) – 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.

Примеры.

6.3.1. Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить .

6.3.2

Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так

или .

(Аксиомы нормы 1)-3) выполняются).

6.3.3. В пространстве непрерывных функций на отрезке определим норму формулой

.Полное нормированное пространство называется банаховым пространством. Банахово пространство - полное нормированное пространство. Исходным для создания теории банахового пространства послужили введённые (1904 - 1918) Д.Гильбертом, М.Фреше и Ф.Риссом функциональные пространства. Именно в них были первоначально исследованы фундаментальные понятия сильной и слабой сходимости, компактности и т. п. С.Банах (1922) начал систематическое изучение этих пространств на основе введённой им аксиоматики и получил глубокие результаты. Теория банаховых пространств развивалась параллельно с общей теорией топологических и векторных пространств. Эти теории взаимно обогащались идеями и фактами. Теория банаховых пространств представляет собой хорошо разработанную область функционального анализа, имеющую многочисленные применения в различных разделах математики.

Примеры.

1) l_p, p ≥ 1, - пространство числовых последовательностей x = {x_n}, для которых

с нормой

2) c - пространство сходящихся числовых последовательностей с нормой

3) C [a, b] - пространство непрерывных на [a, b] функций x = x(t) с нормой

4) L_p [a, b], p≥1 - пространство функций x = x(t), определённых на [a, b], для которых

с нормой