Свойства собственных векторов

1. - собственный вектор оператора А. после умножения его на любое число не равное нулю, снова получится собственный вектор.

2. если и - два собственных вектора соответствующих собственному значению , то любая их линейная комбинация - будет снова собственным вектором.

3. если - характерестические корни, причём при , каждому соотв собственный вектор , то система линейно независима.

Доказательство. Предположим противное: - числа не все равные нулю и такие что:

для - верно, т.к. собственный вектор не может быть нулевым.

Пусть верно для

Докажем, что верно для : пусть

(вычтем из )

система из k - 1 собственных векторов линейно зависима получили противоречие -получили противоречие система линейно независима.