Раздел №9 вопрос 1.Определение линейного пространства (ЛП). Примеры ЛП

Раздел №9 вопрос 1.Определение линейного пространства (ЛП). Примеры ЛП

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.1. Определение.

Линейное пространство (ЛП) V (K) над числовым полем K — это множество V элемен-

тов x,y,... произвольной природы (векторов), в котором введены две операции:

(A) сложение векторов

+: V ×V → V, (x,y) → x+y,

(B) умножение вектора на число

•: K×V → V, (α,x) → αx,

причем выполнены следующие аксиомы:

(1) ∀x,y ∈ V:

x+y = y +x

(коммутативность сложения);

(2) ∀x,y,z ∈ V:

x+ (y +z) = x+ (y +z)

(ассоциативность сложения);

(3) ∃0 ∈ V ∀x ∈ V:

x+0 = x

(существование нулевого вектора);

(4) ∀x ∈ V ∃x∈ V:

x+x = 0

(существование противоположного вектора);

(5) ∀x ∈ V: 1 ·x = x;

(6) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V:

(α· β)x = α·(βx);

(7) ∀α ∈ K, ∀x,y ∈ V:

α(x+y) = αx+αy

(дистрибутивность-1)

(8) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V:

(α+β)x = αx+βx

(дистрибутивность-2).

Запись V (K) означает, что рассматривается ЛП V над ЧП K