Парная линейная регрессия

Задачи: регрессионный анализ лежит в сфере установленных форм зависимости, определенными факторами регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

у - признак-результат, зависимая переменная

х - признак-фактор, независимая переменная

Существует достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействия фактора.

Если характерная связь 2-х признаков - парная, если более 2-х - множественная.

(30 вопрос)Для характерного изменения влияния (х) на вариацию (у) служат методы регрессионного анализа.

В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель: yi=a0+a1xi+еi, где i=1,...,n

n-число наблюдений;

а0, а1 - неизвестные характеристики уравнения;

еi- ошибка случайной переменной (у).

При подстановки (х) получаем парное уравнение регрессии.

уiтеор=a0+a1xi

уiтеор- рассчитанное значение результативного признака;

а0, а1 - рассчитанные с помощью значений различных мат. методов и процедур. Наиболее распространен - метод наибольших квадратов.

Оценки а0, а1 наименьшим образом получаются когда å(yi-yiтеор)®min

Сумма квадратов отклонения эмпирических значений зависимых переменных от вычисления по уравнению регрессии должны ®min.

dF/da=0

dF/da0=0

2 2

a1=(ху-х*у)*/х-(х)

2 2 2

х-(х)=sх

Форма представляется в виде уравнения регрессии.

Уравнение регрессии - определенная математическая функция, которая описывает связь между зависимой и независимой переменной.

Простейший вид уравнения регрессии - парная линейная регрессия.

у=а+bх

у - признак-результат (зависимая переменная)

х - признак-фактор (независимая переменная)

а, b - параметры уравнения.

Эта запись предполагает, что значение признака-результата (у) полностью определяются значениями признака-фактора (х).

у=а+bхi+ei

ei - ошибка (остаток) регрессии

Если на поле координат нанести поле корреляции в виде точек, координаты которого определяются значениями признака-результата и признака-фактора у каждой единиц совокупности. (69 квартир, т.е. 69 точек) И построить линию регрессии.

ei - разница между фактическими и теоретическими значениями у.

ei - разница по вертикали между точкой на поле корреляции и точкой на линии регрессии.

Т.к. в соц.-экон. явлениях функциональная зависимость отсутствует, то ошибка выборки уравнения регрессии будет всегда.

Парная регрессия широко используется на практике (как и парная корреляции), т.к. часто имеется фактор доминирующий среди множества факторов определяющих признак-результат, а также нередко возникает необходимость оценить влияние одного конкретного фактора.

Чтобы воспользоваться уравнением регрессии нужно рассчитать его параметры.

Самый распространенный метод вычисления параметров регрессии - метод наименьших квадратов (МНК).

Суть МНК - удается получить такие значения параметров, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений расчетных или теоретических значений признака-результата от их фактических значений.

2

S=å(yi-y)®min

Рассмотрим S как f(a,b) проводят дифференцирование приравнивая частичные производные к нулю и строят систему нормальных уравнений.

df/da=0 df/db=0

Решение системы нормальных уравнений позволяет найти параметры a и b.

2

b=(x*y-x*y)/sx

sx - дисперсия признака-фактора.

у=а-bх

Пример: при оценке зарплаты от величины прожиточного минимума.

у=0,77+0,92х ® (0,77 - а, 0,92 - b)

у - зарплата по регионам

х - величина прожиточного минимума

Параметр а - содержательно не интерпретируется.

Параметр b - коэффициент регрессии и характеризует на сколько единиц своего измерения изменяется признак-результат при изменении признака фактора на 1 своего измерения.

0,92 - при изменении величины прожиточного минимума на 1 рубль, величина зарплаты увеличится на 92 копейки.

Знак при коэффициенте регрессии характеризует направленность зависимости.

(+) - зависимость прямая

(-) - зависимость обратная