Теория устойчивости Ляпунова

Точка называется стабильной по Ляпунову, если для любого числа существует такое число , , что из условия для всех .

– длина вектора на плоскости.

– равновесное состояние.

– норма вектора Х.

Точка будет стабильной по Ляпунову в том случае, когда система один раз попав в окрестность точки и в дальнейшем останется в окрестности .

Точка называется асимптотически устойчивой по Ляпунову если:

1. Она стабильна по Ляпунову;

2. для любого

Для асимптотически устойчивых систем с течением времени система подходит все ближе и ближе к своему равновесному состоянию.

Система ведет себя так:

– поток системы

– куда перейдет система через к шагов

Периодическим решением динамической системы называется решение в форме , где р – период системы или период траектории.

Таким образом, периодическое решение является неподвижной точкой отображения .

Пример:

Неподвижная точка

Проверим, есть ли неподвижная точка :

любая точка является неподвижной.