Детерминированные динамические системы с дискретным временем

Многие приложения в экономике требуют моделирования систем во времени.

Состояние системы в момент времени t описывается мерным вектором X(t).

X¹(t)

X(t) = ….., X (t) Rⁿ (R – множество всех вещественных чисел)

Xⁿ(t)

t

Эволюция системы со временем описывается функцией

G (X⁰, t, ), где

X⁰ – начальное состояние системы;

t – время;

- вектор параметров.

Функция g(*) называют также переходной функцией

Функция g(*) – это правило, описывающее текущее состояние как функцию от времени, начальных условий и параметров.

Например: X_t = X₀ (1+ )^t = g (X₀, t, )

Функция g(*) как правило не известна. Обычно она задана неявно как решение системы разностных уравнений.

Разностное уравнение или система уравнений – это уравнения в следующей форме: F (t, X_t, X_t+1, …, X_t+m, ) = 0 (1), где

X_t – состояние системы в момент времени t.

Решение уравнения (1) – это последовательность векторов

X_t = X₀, X₁,…,

Обычно предполагается, что уравнение (1) можно решить аналитически относительно X_t+m и переписать в форме так называемых уравнений – состояний:

X_t+m = f (t, X_t, X_t+1, …,X_t+m-1, ) (2)

Например:

X_t+2 = X_t + X_t+1/2 + t

Любую систему представляют в форме (2) всегда можно?

Разностное уравнение (2) называется линейным, если F(*) является линейной фуекцией переменных состояний (не обязательно линейно относительно )

В уравнениях (1) и (2) величина m называется порядком системы не является серьезным ограничением, так как системы более высокого порядка путем введения дополнительных переменных и уравнений.

Пример: X_t = f (X_t-1, Y_t-1) – система 2-го порядка

Введем Y_t = X_t-1

X_t = f(X_t-1, Y_t-1)

Y_t = X_t-1

Таким образом, мы будем рассматривать только системы 1-го порядка следующего вида:

X_t-1 = f(t, X_t, ) (3)

Уравнение (3) называется автономным, если t не входит в него отдельным аргументом.

Пример:

Рассмотрим динамику основных фондов на предприятии

K_t – стоимость основных фондов предприятия в период t.

- норма амортизации, то есть % основных фондов, которые изъяли на предприятии за год.

I_t = инвестиции в основные фонды.

K_t+1 = (1 - ) K_t + I_t – уравнение 1-го порядка, линейное, если I_t = I, тогда

K_t+1 = (1 - ) K_t + I – уравнение автономное

Если I_t = I(t) – неавтономное (зависит от t)

Решение уравнения (3) – это последовательность векторов состояния {X_t}, удовлетворяющих уравнению (3) для всех возможных состояний. Эта последовательность называется траекторией системы. Уравнение (3) показывает, как состояние системы изменяется от периода к периоду, а траектория системы дает ее эволюцию как функцию начальных условий и состояния внешней среды .

Если известно начальное состояние X₀, легко получить последовательность решений путем итеративного применения отношения (3), получим переходную функцию следующим образом:

X_t+1 = f (t, X_t, )

{X_t}

X₀ = X⁰

X₁ = f (0, X⁰, ) = g (0, X⁰, )

X₂ = f (1, X, ) = f (1; f (0, X⁰, ); ) = g (1, X⁰, )

X_t+1 = f (t, X_t, ) = f (t, g, (t – 1, X⁰, ), ) = g (t, X⁰, )

Если f (*) однозначная, всюду определенна функция, то существует уникальное решение уравнения (3) для любого X⁰.

Если функция имеет вид f (t, X_t, ) = / X_t – не всюду опрделенная.

Если f (*) непрерывная дифференциальная функция, то решение также будет гладким относительно и X⁰

Полученное решение зависит от начального состояния X⁰.

Задача с граничным условием состоит из уравнения (3) и граничного условия, задаваемого в формуле:

X_s = X^s (4)

Если в уравнении (4) – S = 0, то оно называется начальным состоянием.

Уравнение (3) имеет много решений, а уравнение (3) + (4) – система – единственное решение, поэтому различают общее и частное решение разностного уравнению (3):

X_t^g = X(t, c, ) = {X_t(X_t+1 = f (t, X_t, ))}, где параметр е индексирует частное решение.

Пример:

X_t – размер вклада в момент t

Z - % я ставка

X_t+1 = X_t (1+ z); X₀ = …

X₁ = X₀ (1 + z)

X₂ = X₁ (1 + z) = X₀ (1 + z)² = g (X₀, t, z), где t = 2

Если можно найти общее решение системы (3). у нас будет полная информация о поведении системы со временем, будет легко определить, как система реагирует на изменение параметров.

К сожалению, общее решение существует только для определенных классов l – го порядка (в частности для линейных систем)