Автономные системы

Поведение автономных систем задается разностным уравнением

X_t+1 = f (X_t, ) (1)

Автономные системы моделируют ситуации, где структура системы остается неизменной со временем. Это дает возможность использовать для анализа графический метод.

X_t=1 = f (t, X_t, )

X_t = X_t+1 – X_t = f (t, X_t, ) - X_t = d (t, X_t, ) (2)

Функция d (*) показывает на сколько изменится состояние системы от периода к периоду. В каждой точке X_t можно сопоставить вектор X_t в соответствующем уравнении (2) Функция d (*) в этом контексте называется векторным полем

X⁰/t = 0

Для автономных систем и

В автономных системах все системы, попавшие когда-либо в т. Х₀ в последствии следуют одной и той же траекторией. В неавтономных системах поведение зависит также и от того, когда система попала в т. Х_0.

При начальном условии Х₀ для автономных систем применим уравнение (1):

дважды последовательно примененная.

В выше приведенной системе f^t означает результат t-кратного итеративного применения функции f () к своему аргументу. Функция f^t показывает, куда перейдет система за t периодов из начального состояния.

Пример:

X_t – куда перейдет система из т. Х₀ за t периодов времени.

Функция f^tиногда называется потоком системы.

Устойчивые состояния. Периодические равновесия. Стабильность.

С течением времени система переходит к устойчивому состоянию. Поэтому нас будет интересовать асимптотическое поведение системы при t → ∞.

Рассмотрим систему

Следовательно, если существует, то .

Точка Х, удовлетворяющая уравнению называется неподвижной точкой отображения .

Точка называется в контексте динамических систем устойчивым состоянием или стационарным состоянием.

Неподвижные точки широко используются для изучения долговременного поведения динамических систем.

Пример:

если , то 1 в противном случае 0