Монотонность функций. Точки экстремума

Функция называется возрастающей (рис. 3) на интервале , если :

.

Функция называется убывающей (рис. 4) на интервале , если :

.

Возрастающие и убывающие функции имеют общее название – монотонные.

Оказывается, монотонностью функции управляет знак ее производной. Справедлива следующая теорема:

Теорема 15. Для того чтобы дифференцируемая функция возрастала на интервале , необходимо и достаточно, чтобы

.

Для того чтобы убывала на , необходимо и достаточно, чтобы

.

Пусть на множестве определена функция .

Определение 9. Точка называется точкой максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что

.

Аналогично, точка минимума, если существует окрестность этой точки такая, что

.

Точки максимума и минимума имеют общее название – точек экстремума. Обращаем Ваше внимание на то, что экстремум понятие локальное. Это означает, что указанные неравенства выполняются не на всем множестве , а в какой то, быть может очень малой окрестности точки .

Наряду с экстремумами существуют понятия наибольшего и наименьшего значений функции на рассматриваемом множестве . Это – понятие глобальное. Может случиться (см. рис. 5, где ), что на множестве функция имеет даже несколько точек экстремума и не имеет на нем ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Однако, согласно теореме 11, непрерывная на замкнутом отрезке функция хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее и хотя бы одной – наименьшее значения. Так, функция , изображенная на рис. 6 принимает наименьшее значение в точке минимума , а наибольшее – на правом конце отрезка , т.е. в точке .

x 4

В общем случае, непрерывная на отрезке функция может достигать наибольшего значения либо в точке максимума, либо на конце отрезка, либо и там, и там. Аналогичное положение имеет место и с наименьшим значением.

О локальности понятия экстремума говорит еще такой факт: значение функции в точке минимума может оказаться больше ее значения в точке максимума (рис.6, точки и ).