Теорема 1. (предел постоянной равен самой постоянной)

(предел постоянной равен самой постоянной).

Теорема 2. Если существуют и , то

,

,

(при дополнительном условии ).

Теорема 3. Пусть в некоторой окрестности точки . Тогда из условия следует, что .

Теорема 4. Если , и в некоторой окрестности точки выполняются неравенства

,

то .

Все сформулированные теоремы справедливы также и когда .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 4. Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если .

Аналогично, - б.м.ф. при , если .

Например, при бесконечно малыми являются функции: , , , , , , а при - функции , , , , и т.п.

Из теоремы 2 вытекают важные следствия:

1) сумма двух б.м.ф. является б.м.ф.

2) произведение б.м.ф. на функцию ограниченную есть б.м.ф.

Напомним, что функция называется ограниченной на множестве , если её значения на этом множестве не превосходят некоторого числа.

Если функция имеет конечный предел , то в окрестности точки она ограничена.

Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при (или при ), если при приближении к её значения по абсолютной величине неограниченно растут, становятся больше любого наперед заданного числа. Тот факт, что - б.б.ф. обозначается записью .

Точное определении б.б.ф. таково: , если для любого сколько угодно большого положительного числа найдется окрестность точки (), такая, что

.

Сумма двух бесконечно больших функций одного знака есть б.б.ф. того же знака.

Существует тесная связь между б.м. и б.б. функциями:

- если - б.м.ф. при , то - б.б.ф. при ,

- если - б.б.ф. при , то - б.м.ф. при .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции можно сравнивать.

Функция называется б.м.ф. более высокого порядка, чем при (обозначается ), если

.

Например, при б.м.ф. более высокого порядка, чем , т.к.

.

Функция называется б.б.ф. более высокого порядка, чем при (), если

.

Функции и называются эквивалентными при , если . Обозначается этот факт таким образом: . Это понятие относится и к б.м. и к б.б. функциям.

Важность понятий эквивалентности устанавливается следующей теоремой.

Теорема 5. Предел отношения функций равен пределу отношения функций, им эквивалентных.

Основываясь на этой теореме, при решении задач на вычисление пределов эффективно используется такой принцип:

каждый б.б. или б.м. множитель числителя или знаменателя можно заменить эквивалентным.

Таблица эквивалентных функций:

· При имеют место следующие эквивалентности:

· При каждый многочлен эквивалентен своему старшему члену:

Так, например, при .

Приведем примеры.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ; (здесь мы воспользовались так же тем, что );

5) ;

6) .

При решении следующих примеров учитывается связь между б.б. и б.м. функциями.

7) ;

8) ;

9) .

В последнем примере мы воспользовались тем, что при функция является б.б.ф. Отсюда следует, что - б.б.ф. при , но тогда функция является б.м. И её произведение на ограниченную (в окрестности 0) функцию тоже определяет собой б.м., вот почему предел равен нулю.

Вычислить пределы:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9)	10) ;
11) ;	12) ;
13) .

Непрерывные функции

Определение 6. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и

.

Определение 7. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Известно, что все основные элементарные функции непрерывны, каждая в своей области определения. На самом деле, непрерывностью элементарных функций мы уже пользовались неоднократно при вычислении пределов.

Например, утверждая, что , мы используем непрерывность функции в точке , а заявление о том, что означает непрерывность функции в точке .

Теорема 6. Сумма непрерывных в точке функций является непрерывной функцией.

Теорема 7. Произведение непрерывных в точке функций является непрерывной функцией.

Теорема 8. Частное от деления двух непрерывных в точке функций представляет собой непрерывную функцию, если делитель в точке отличен от нуля.

Теорема 9. Композиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Из теорем 6-9 следует, что все элементарные функции непрерывны в своих областях определения.

Приведем еще ряд важных свойств непрерывных функций.

Теорема 10 (о сохранении знака). Если функция непрерывна в точке и положительна в этой точке, то она положительна и в некоторой окрестности точки .

Теорема 11 (о наибольшем и наименьшем значениях). Если функция непрерывна на замкнутом отрезке , то хотя бы в одной точке отрезка функция принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема 12 (о промежуточном значении). Пусть функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения различных знаков. Тогда внутри отрезка найдется точка, в которой функция обращается в нуль.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют точками разрыва.

При дальнейшей работе с элементарными функциями, полезно иметь в виду следующее:

1) многочлен, непрерывны на всей числовой оси;

2) рациональная функция – отношение двух многочленов непрерывна на всей числовой оси, кроме точек, где ; эти точки являются точками разрыва функции ;

3) непрерывен на всей оси, кроме точек , а - на всей оси, кроме точек , ;

4) Логарифмическая функция () непрерывна при всех .

ПРОИЗВОДНАЯ функции