Геометрический смысл производной

Пусть - дифференцируемая функция (рис.2), - точка графика с абсциссой , - точка с абсциссой , .

Напомним, что касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , когда точка , двигаясь вдоль кривой, приближается к точке .

Обозначим через угол наклона к оси абсцисс хорды , а через - угол наклона касательной к кривой в точке . Ясно, что, когда , то . Тогда

.

Здесь мы воспользовались непрерывностью функции tg j.

P

Рис. 2

Таким образом, производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к данной кривой в точке . В этом состоит геометрический смысл производной.

Составим теперь уравнение касательной, проведенной в точке к кривой . Уравнение всякой прямой, проходящей через точку , имеет вид: . Для того, чтобы из этого пучка прямых выделить касательную, надо взять . Таким образом, уравнение касательной принимает вид:

.

Нормалью к данной кривой в точке называется прямая, проведенная через перпендикулярно касательной. Используя условия перпендикулярности двух прямых (), получим уравнение нормали:

.

Пример 11. Найти уравнения касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой .

Решение. Найдем ординату точки : , вычислим производную функции : . Тогда . Значит, угловой коэффициент касательной , а угловой коэффициент нормали .

Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид

,

а уравнение нормали:

.n

Написать уравнения касательных и нормалей к кривым:

35) в точке ;

36) в точке ;

37) в точке ;

38) в точке ;

39) в точках пересечения с осью ;

40) в точках пересечения с осью .

Нахождение пределов. Правило Лопиталя

Следующая теорема дает мощное средство вычисления пределов.

Теорема 14 (правило Лопиталя). Пусть функции и удовлетворяют условиям:

1) непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности;

2) дифференцируемы в окрестности точки ;

3) , ;

4) существует .

Тогда существует предел отношения данных функций и справедливо равенство:

.

Т.е. предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Пример 12. Вычислить .

Решение. Условия 1) - 3) очевидно выполнены. Условие 4) всегда проверяется в ходе вычислений. Применяя правило Лопиталя, получаем:

.n

Замечание. Теорема остается справедливой и в следующих случаях:

1) когда или ;

2) когда или ;

3) когда и .

Таким образом, правило Лопиталя применимо, когда и являются либо обе бесконечно малыми (неопределенность вида ()), либо обе – бесконечно большими (неопределенность вида ()).

Пример 13. Вычислить .

Решение. Здесь мы снова встречаем неопределенность вида (), что и позволяет использовать правило Лопиталя:

.n

Пример14. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби является б.б. функциями, т.е. перед нами – неопределенность вида (). Применив правило Лопиталя, получим:

.

Результат говорит о том, что функция хоть и стремится к +∞, но значительно медленнее, чем функция . Убедитесь самостоятельно в том, что значительно медленнее, чем функция .n

Пример 15. Вычислить предел

Решение. Поскольку числитель и знаменатель являются б.б.ф. при х → + ∞, то применив правило Лопиталя два раза подряд, имеем:

.n

Пример 16. Вычислить .

Решение.

.n

Пример 17. Вычислить .

Решение. Здесь правило Лопиталя использовать нерационально. В самом деле, каждое применение этого правила снижало бы степень числителя на 1 и степень знаменателя лишь на 1. В то же время, заменяя числитель и знаменатель эквивалентными б.б. функциями, сразу получаем:

.n

Во многих случаях полезно сочетать использование правила Лопиталя с заменой эквивалентных.

Пример 18. Вычислить .

Решение. Сначала б.м. множители знаменателя заменим эквивалентными и уже затем применим правило Лопиталя:

.n

Пример 19. Вычислить .

Решение. Здесь перед нами неопределенность вида . После приведения выражения в скобках к общему знаменателю получим под знаком предела отношение двух б.м.ф., что дает возможность и замены эквивалентных множителей и применения правила Лопиталя:

.n

В случае неопределенностей вида , или следует предварительно прологарифмировать заданную функцию, а затем найти предел ее логарифма.

Пример 20. Найти .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства и, с учетом того, что логарифм является непрерывной функцией, переставим знаки логарифма и предела:

.

Мы получили неопределенность вида (). Значит, теперь можно применить правило Лопиталя:

.

Перед нами вновь неопределенность вида (). Применим правило Лопиталя еще дважды:

.

Итак, . Отсюда, .n

Найти пределы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).
11).	12).
13).	14).
15).	16).
17).	18).
19).	20).
21).	22).
23).	24).
25).	26).
27).	28).
29).	30).
31).	32). .

Исследование функций и построение графиков