Техника дифференцирования

Пусть на множестве определена функция . Допустим, что - произвольная точка множества , а - близкая к ней точка, тоже принадлежащая этому множеству (рис. 1).

Величина называется приращением аргумента, а - приращением функции, соответствующим приращению аргумента .

Рис. 1

Определение 8. Производной функцией в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если в точке производная существует, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Если - время, а - некоторый процесс (физический, химический, биологический, экономический), то представляет собой скорость (мгновенную) протекания этого процесса в момент .

Теорема 13. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Так, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

Исходя из определения производной, выведены формулы для производных всех основных элементарных функций и получены основные законы дифференцирования:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.

Если и - дифференцируемые функции, то

I.

II.

III.

IV.

V. Если - дифференцируемая функция в точке , а - дифференцируемая в точке , то производная сложной функции равна производной внешней функции по своему аргументу, умноженной на производную внутренней функции по своему:

.

Примеры нахождения производных.

Пример 1. . Найти .

Решение. Используя законы дифференцирования I и II, а также формулы 3), 5), 2), 1), имеем:

.n

Пример 2. . Найти .

Решение. Вначале перепишем данную функцию в более удобном виде, заменив все корни на степени.

.

Теперь находим производную, используя законы I,II и формулу 2):

.n

Пример 3. . Найти .

Решение. Используем закон III и формулы 2) и 5):

.n

Пример 4. . Найти .

Решение. Воспользуемся законом IV, т.е. формулой для производной частного:

.n

Теперь обратим внимание на закон V, дающий возможность дифференцировать сложные функции.

Пример 5. . Найти .

Решение. Перед нами сложная функция, у которой внешней является пятая степень, а внутренней – тангенс. Производная внешней функции равна , а производная внутренней . Поэтому, получаем:

.n

Пример 6. . Найти .

Решение. Производная внешней функции по своему аргументу равна , а производная внутренней функции, т.е. производная выражения, стоящего в скобках, равна ; поэтому

.n

Пример 7. . Найти .

Решение. Здесь сложная функция состоит уже из трех звеньев: внешняя – девятая степень, ее аргументом является – арктангенс, а аргументом арктангенса – выражение . Поэтому, дифференцируя в цепочку, получаем:

.n

Пример 8. . Найти .

Решение. Данная функция представляет собой частное. Поэтому в основу дифференцирования закладываем закон IV, но в ходе дифференцирования учитываем, что первое слагаемое числителя, а также оба слагаемых знаменателя – функции сложные:

.n

Приведем еще два примера без объяснений.

Пример 9. . Найти .

Решение.

.n

Пример 10. . Найти .

Решение.

.n

Найти производные следующих функций