Сходимость разностной схемы. Разностная схема сходится, если норма разности || - || стремится к нулю при

Разностная схема сходится, если норма разности || - || стремится к нулю при . Здесь u_k – значение функции в точке, полученное при расчете, v_k – теоретическое.

Теоретическое решение данной задачи довольно очевидно:

.

Покажем, что это действительно так.

;

;

;

.

, , .

Для исследования сходимости построим вспомогательные графики. (Число точек по х – 10, по t – 200).

Эквипотенциальных поверхностей:

И двумерный график при фиксированных х и t.

(Число точек по х – 10, по t – 400).

Из графиков видно, что с увеличением числа узлов разность между решением и теоретическим значением функции уменьшается. Это свидетельствует о сходимости схемы. Для определения скорости составим таблицу погрешностей.

Число точек	Явная схема	Неявная схема
Абсолютная погрешность	Относительная погрешность	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
5/500	0.0157	0.9356	0.0163	0.9415
10/1000	0.0036	0.2125	0.0042	0.2156
20/2000	7.8554e-004	0.0457	0.0012	0.0474

При уменьшении шага в 2 раза (увеличения числа точек в 4 раза) ошибка уменьшается в 4 раза.

Следовательно скорость сходимости О(t+h).

Список использованной литературы.

1. В.А. Гончаров, А.А. Савостиков «Численные методы». Москва, МИЭТ, 2005г.

2. В. Г. Долголаптев, В. Н. Земсков. «Численные методы решения разностных уравнений математической физики». Москва, МИЭТ, 1987г.