Метод сеток

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлы сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Пусть ω_h – сетка в некоторой области G, H_h – линейное пространство сеточных функций, заданных на ω_h; H₀ –линейное пространство гладких функций (x); - норма в H₀; - норма в H_h. Предполагается, что:

1) существует оператор проектирования P_h такой, что

P_h = _h H_h для любого H₀

2) нормы и согласованы, т. е. ||P_h || =

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор L, заданный в H₀, и оператор L_h, преобразующий сеточную функцию _h в сеточную функцию L_{h h}, заданную на ω_h.

Погрешностью аппроксимации оператора L разностным оператором L_h называется сеточная функция ψ_h = L_{h h} – (L )_h, в сеточном пространстве H_h, где _h= P_h , (L )_h= P_h(L ), - любая функция из H₀. Если при этом

|| ψ_h ||_h= ||L_{h h} - (L )_h||_h = O(h^m), то разностный оператор L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m>0.

Пусть - решение исходной краевой задачи, ; - решение приближённой (разностной) задачи, . Чтобы сравнить две функции - и , являющиеся элементами разных пространств, вводится оператор проектирования , который каждой функции ставит в соответствие сеточную функцию () по правилу , ; . Рассмотрим разность , являющуюся элементом пространства . Близость и характеризуется нормой || - || .

При формулировке соответствующей разностной задачи необходимо аппроксимировать не только дифференциальное уравнение, но и краевые и начальные условия.

Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основной дифференциальное уравнение и дополнительные условия, называется разностной схемой или разностной задачей.

Разностная схема сходится, если норма разности || - || стремится к нулю при .

Для исходной задачи должно выполняться требование корректности, то есть существование единственного и устойчивого решения. Последнее означает, что малым возмущениям функции и должно соответствовать малое изменение решения. Из корректности исходной задачи не следует корректность разностной задачи.

Разностная схема корректна, если для всех достаточно малых h и при любых существует единственное решение задачи, для которого выполняется оценка

|| || (|| || + || || ) c постоянной М, не зависящеё от h. Последнее свойство означает равномерную по h непрерывную зависимость решения от входных данных и называется устойчивостью разностной схемы, ||.|| , ||.|| и ||.|| - нормы в сеточных пространствах решений, правых частей и граничных условий соответственно.