Классификация задач

Линейное уравнение второго порядка в частных производных в общем случае имеет вид:

(1)

где a, b, c, d, e, g, f - известные функции от x и y. Если a, b, c, d, e, g – константы, то (1) называется уравнением с постоянными коэффициентами. Если f(x,y)=0, то уравнение является однородным.

Уравнение (1) называется эллиптическим в точке М(х,у ), если D < 0; гиперболическим, если D > 0; параболическим, если D = 0. D - дискриминант квадратичной формы:

При помощи невырожденного преобразования U(x, y)

уравнение (1) можно привести к одному из следующих канонических видов:

- эллиптический

- гиперболический

- параболический

Постановка задач. При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений, поэтому для однозначного определения процесса необходимы также дополнительные условия - краевые и начальные. Краевые и начальные условия зависят от типа уравнения. Задача, в которой поставлены краевые и начальные условия называется смешанной задачей.