Разностная аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть дан линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию v=v(x). Заменяя входящие в Lv производные разностными отношениями, получим вместо Lv разностное выражение L_hv_h, являющееся линейными комбинациями значений сеточной функции v_h на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная замена Lv на L_hv_h называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператора L).

Изучение разностных аппроксимаций оператора L вначале производят локально, т.е. в любой фиксированной точке x области w_h. Прежде чем приступать к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узлом х_i узлов, в которых значения сеточной функции v_h(x_i)=v(x_i) могут быть использованы для аппроксимации оператора L.

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем следующий шаблон:

Получаем конечно-разностную систему:

Неявная схема для уравнения теплопроводности выглядит следующим образом:

(i, j)