Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
$5000
-$2000 $1500
$500 $5000
-$2000 $1500
$500
Для оценки различных альтернатив, показанных на рис. 14.5, необходимо вычислить апостериорные вероятности P{hi,| v), указанные на соответствующих ветвях,
Глава 14. Теория игр и принятия решений
выходящих из узлов 4-7. Эти апостериорные вероятности вычисляются с учетом дополнительной информации, содержащейся в рекомендациях друга, с помощью следующих действий.
Шаг 1. Условные вероятности P{i>.| т} для данной задачи запишем следующим образом.
0,9 | 0,1 |
0,5 | 0,5 |
Шаг 2. Вычисляем вероятности совместного появления событий.
P{mt, v} = P{vj\ т}Р{т^ для всех / и j.
При заданных априорных вероятностях Р{ш,} = 0,6 и Р{т2) = 0,4 вероятности совместного появления событий определяются умножением первой и второй строк таблицы, полученной на шаге 1, на 0,6 и 0,4 соответственно. В результате имеем следующее.
V2
mi
0,54 | 0,06 |
0,20 | 0,20 |
Сумма всех элементов этой таблицы равна 1. Шаг 3. Вычисляем абсолютные вероятности.
p{v;}= X P{mi'vj} для всех/
но всем /'
Эти вероятности получаются путем суммирования элементов соответствующих столбцов таблицы, полученной на шаге 2. В итоге имеем следующее.
P{v2) | |
0,74 | 0,26 |
Шаг 4. Определяем искомые апостериорные вероятности по формуле
Эти вероятности вычисляются в результате деления каждого столбца таблицы, полученной на шаге 2, на элемент соответствующего столбца таблицы, вычисленной на шаге 3, что приводит к следующим результатам (округленным до трех десятичных знаков).
V1 v2
0,730 | 0,231 |
0,270 | 0,769 |
14.2. Принятие решений в условиях риска
Это те вероятности, которые показаны на рис. 14.5. Они отличаются от исходных априорных вероятностей Р{т^\ = 0,6 и Р{т2} = 0,4.
Теперь можно оценить альтернативные решения, основанные на ожидаемых платежах для узлов 4-7.
Мнение "за"
Доход от акций компании А в узле 4 = 5000 х 0,730 + (-2000) х 0,270 = 3110 (долл.). Доход от акций компании В в узле 5 = 1500 х 0,730 + 500 х 0,270 = 1230 (долл.). Решение. Инвестировать в акции компании А. Мнение"против"
Доход от акций компанииАв узле 6 = 5000 х 0,231 + (-2000) х 0,769 = -383 (долл.). Доход от акций компании В в узле 7 = 1500 х 0,231 + 500 х 0,769 = 731 (долл.). Решение. Инвестировать в акции компании В.
Заметим, что предыдущие решения эквивалентны утверждению, что ожидаемые платы в узлах 2 и 3 равны 3110 и 731 долл. соответственно (рис. 14.5). Следовательно, при известных вероятностях i3{v1} = 0,74 и P{v2} = 0,26, вычисленных на шаге 3, можно определить ожидаемую плату для всего дерева решений (упражнение 14.2.2.3).
Вычисление в Excel апостериорных вероятностей. Шаблон Excel chl4Bayes-Posterior.xls вычисляет апостериорные вероятности для заданных матриц условных вероятностей, которые не должны превышать размер 10x10. Для вычислений необходимо задать вероятности Р{т} и P{v\ т}. Excel проверит входные данные на наличие ошибок и при их обнаружении выведет соответствующее сообщение. На рис. 14.6 показано применение шаблона для решения задачи примера 14.2.2.
1 А | В I С | 0 I E I L | M l-N'j | |
Bayes Posterior Probabilities | |||
Input Data | Output Results | ||
з | |P{v|m) (10x10) maximum | P{v,m} | |
P | [m> j v1 v2 | v1 v2 | |
ml | 0.6! 0.9 0.1 | 0 5400 0 0600 | |
m2 | 0.4J 0.5 0.5 | 0.2000 0 2000 | |
Input Data Error Messages | P{v} | ||
0.7400 0.2600 | |||
"17 | P{m|v} | ||
1S | 0.7297 0.2308 | ||
m2 | 0.2703 0.7692 |
Рис. 14.6. Вычисление в Excel апостериорных вероятностей для примера 14.2.2
УПРАЖНЕНИЯ 14.2.2
1. Несмотря на сезон дождей, Джим Боб планирует завтра идти на рыбалку, но только если не будет дождя. Из данных о погоде прошлых лет следует, что имеется 70% -ная вероятность, что в сезон дождей будет идти дождь. В шесть часов вечера синоптики предсказали с 85% -ной вероятностью, что завтра будет дождь. Следует ли Джиму Бобу планировать рыбалку на завтра?
Глава 14. Теория игр и принятия решений
2. Фирма "Электра" получает 75 % электронных деталей от поставщика А и 25 % — поставщика В. Доля брака в продукции поставщиков А и В составляет 1 и 2 % соответственно. При проверке пяти деталей из полученной партии обнаружена лишь одна дефектная. Определите вероятность того, что партия получена от поставщика А. Проведите аналогичные вычисления относительно поставщика В. (Подсказка. Вероятность появления бракованной детали в партии подчиняется биномиальному закону распределения.)
3. Предположим, что в задаче из примера 14.2.2 есть дополнительный выбор, связанный с инвестированием 10 ООО долл. в надежный депозит, который приносит 8 % прибыли. Совет вашего друга по-прежнему относится к инвестированию через биржу.
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Какое оптимальное решение в этом случае? (Совет. Используйте вероятности P{vy) и P{v2), полученные на шаге 3 в примере 14.2.2, для вычисления ожидаемой суммы инвестирования через биржу.)
4. Допустим, вы являетесь автором романа, который обещает быть популярным. Вы можете либо самостоятельно напечатать роман, либо сдать его в издательство. Издательство предлагает вам 20 ООО долл. за подписание контракта. Если роман будет пользоваться спросом, будет продано 200 000 экземпляров, в противном случае — лишь 10 000 экземпляров. Издательство выплачивает авторский гонорар в сумме один доллар за экземпляр. Исследование рынка, проведенное издательством, свидетельствует о том, что существует 70%-ная вероятность, что роман будет популярным. Если же вы сами напечатаете роман, то понесете потери в сумме 90 000 долл., связанные с печатанием и маркетингом, но в этом случае каждый проданный экземпляр принесет вам прибыль в два доллара.
a) Принимая во внимание имеющуюся информацию, вы примете предложение издательства или будете печатать роман самостоятельно?
b) Предположим, что вы заключили договор с литературным агентом на исследование, связанное с потенциальным успехом романа. Исходя из предыдущего опыта, компания извещает вас, что если роман будет пользоваться спросом, то исследование предскажет неверный результат в 20 % случаев. Если же роман не станет популярным, то исследование предскажет верный результат в 85 % случаев. Как эта информация повлияет на ваше решение?
5. Вернитесь к проблеме выбора решения фермером Мак-Коем из упражнения 14.2.1.2. Фермер имеет дополнительный выбор, связанный с использованием земли как пастбища, что гарантированно принесет ему прибыль в 7500 долл. Фермер получил также дополнительную информацию от брокера, касающуюся степени стабильности будущих цен на продукцию. Оценки брокера "благоприятный — неблагоприятный" выражаются количественно в виде следующих условных вероятностей.
ai а2
0,15 | 0,85 |
0,50 | 0,50 |
0,85 | 0,15 |
14.2. Принятие решений в условиях риска
В данном случае а, и а2 — оценки брокера "благоприятный" и "неблагоприятный", a s,, s2 и s3 представляют изменение в будущих ценах: соответственно "понижение", "такие же", "повышение".
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Найдите оптимальное решение задачи.
6. Пусть в упражнении 14.2.1.5 дирекция компании решила провести пробную продажу своей продукции в выбранных населенных пунктах. Результатом пробной продажи являются оценки "хорошо" (а,) или "плохо" (а2). Тест дает следующие условные вероятности с проведением рекламной кампании и без нее.
Р{ау| vft с рекламной кампанией Р{ау| vij без рекламной кампании
V1 | 0,95 | 0,05 | И/1 | 0,8 | 0,2 |
V2 | 0,3 | 0,7 | W2 | 0,4 | 0,6 |
Здесь vx и v2 обозначают соответственно "успех" и "неуспех", a wx и w2 — "восприимчивый" и "невосприимчивый" покупатель.
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Определите оптимальный план действий фирмы.
7. Статистические данные о работе компании показывают, что с вероятностью 5 % произведенная партия продукции будет неприемлемой (плохой). Плохая партия содержит 15 % дефектных изделий, а хорошая — лишь 4 %. Пусть значение переменной а = а, (= а2) обозначает, что партия изделий является хорошей (плохой). Тогда соответствующие априорные вероятности равны соответственно Р{а = а,} = 0,95 и Р{а = а2} = 0,05.
Вместо того чтобы отправить партии продукции с характеристиками, основанными на априорных вероятностях, из каждой партии проверяются два изделия. Возможны следующие результаты проверки.
Оба изделия являются качественными (s,).
Одно изделие является качественным (s2).
Оба изделия являются бракованными (s3).
a) Определите апостериорные вероятности P{at \ s}, i = 1, 2; j = 1, 2, 3.
b) Предположим, что фирма отправляет партии продукции двум потребителям А и В. Контракты с ними определяют, что процент бракованных изделий в поставках не должен превышать 5 и 8 % соответственно. Предусматривается штраф в 100 долл. за превышение на один процент максимально допустимого лимита бракованных изделий. Поставка партий лучшего качества, чем указано в контракте, приносит производителю прибыль в 80 долл. за каждый процент уменьшения доли бракованных изделий. Постройте соответствующее дерево решений и определите приоритетную стратегию отправки партий продукции.
Функции полезности. В предыдущих примерах критерий ожидаемого значения применялся лишь в тех ситуациях, где платежи выражались в виде реальных денег. Зачастую возникают ситуации, когда при анализе следует использовать скорее
Глава 14. Теория игр и принятия решений
полезность, чем реальную величину платежей. Для демонстрации этого предположим следующее. Существует шанс 50 на 50, что инвестиция в 20 ООО долл. или принесет прибыль в 40 ООО долл., или будет полностью потеряна. Соответствующая ожидаемая прибыль равна 40000 х 0,5 - 20000 х 0,5 = 10000 долл. Хотя здесь ожидается прибыль в виде чистого дохода, разные люди могут по-разному интерпретировать полученный результат. Инвестор, который идет на риск, может вложить деньги, чтобы с вероятностью 50 % получить прибыль в 40 000 долл. Наоборот, осторожный инвестор может не выразить желания рисковать потерей 20 000 долл. С этой точки зрения очевидно, что разные индивидуумы проявляют разное отношение к риску, т.е. они проявляют разную полезность по отношению к риску.
Определение полезности является субъективным. Оно зависит от нашего отношения к риску. В этом разделе мы представляем систематизированную процедуру числовой оценки отношения к риску лица, принимающего решение. Конечным результатом является функция полезности, которая занимает место реальных денег.
В примере, приведенном выше, наилучший платеж равен 40 000 долл., а наихудший --20 000 долл. Мы устанавливаем произвольную (но логически обоснованную) шкалу полезности U, изменяющуюся от 0 до 100, где 0 соответствует полезности -20 000, а 100 — 40000, т.е. [/(-20000) = 0 и [/(40000) = 100. Далее определяем полезность в точках между -20000 и 40000 для определения общего вида функции полезности.
Если отношение лица, принимающего решение, беспристрастно к риску, то результирующая функция полезности является прямой линией, соединяющей точки (0, -20000) и (100, 40000). В этом случае как реальные деньги, так и их полезность дают совпадающие решения. В более реальных ситуациях функция полезности может принимать другой вид, отражающий отношение к риску лица, принимающего решение. На рис. 14.7 иллюстрируется вид функции полезности для трех индивидуумов X, Y и Z. Индивидуум X не расположен к риску (осторожен), так как проявляет большую чувствительность к потере, чем к прибыли. Индивидуум Z — противоположность в этом отношении индивиду X; он настроен на риск. Это следует из того, что для индивидуума X при изменении в 10 000 долл. вправо и влево от точки, соответствующей 0 долларов, увеличение прибыли изменяет полезность на величину ab, которая меньше изменения полезности be, обусловленной потерями такой же величины, т.е. ab < be. В то же время такие же изменения в ±10000 долл., относящиеся к индивидууму Z, обнаруживают противоположное поведение; здесь de > ef. Далее, индивидуум У является нейтральным к риску, так как упомянутые изменения порождают одинаковые изменения полезности. В общем случае индивидуум может быть как не расположен к риску, так и настроен на риск, в зависимости от суммы риска. В этом случае соответствующая кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S.
Кривые полезности, аналогичные изображенным на рис. 14.7, определены с помощью количественного показателя, характеризующего отношение к риску лица, принимающего решение, для различных значений уровня реальных денег в пределах установленного интервала. Так в рассмотренном примере установленным интервалом является (-20000,40000), соответствующая полезность изменяется в интервале (0,100). Необходимо определить полезность, соответствующую таким промежуточным значениям, как например, -10 000, 0, 10 000, 20 000 или 30 000. Соответствующая процедура построения функции полезности начинается с того, что организовывается лотерея для определения суммы реальных денег х, для которой ожидаемое значение полезности будет вычислено по следующей формуле.
Щх) = р[/(-20000) + (1 т р)С/(40000) = Ор + 100(1 - р) = 100 - ЮОр, 0 <р < 1.
14.2. Принятие решений в условиях риска 573
Тысячи долларов
Рис. 14.7. Функция полезности для лиц, по-разному относящихся к риску
Для определения значения U(x) просят лицо, принимающее решение, сообщить свое предпочтение между гарантированной наличной суммой х и возможностью сыграть в лотерею, в которой с вероятностью р реализуется проигрыш в сумме 20000 долл. и с вероятностью 1 - р имеет место выигрыш в 40000 долл. При этом под предпочтением понимается выбор значения "нейтральной" вероятности р, при котором, с точки зрения лица, принимающего решение, возможности сыграть в лотерею и получить гарантированную сумму х являются одинаково привлекательными. Например, если х = 20000 долл., лицо, принимающее решение, может заявить, что гарантированные 20000 долл. наличными и лотерея одинаково привлекательны при р = 0,8. В этом случае вычисляется полезность для х = 20000 по следующей формуле.
(7(20000) = 100 - 100 х 0,8 = 20.
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено достаточное количество точек (х, Щх)) для определения формы функции полезности. Затем можно определить искомую функцию полезности путем регрессионного анализа или просто линейной интерполяции между полученными точками.
Хотя здесь применяется количественная процедура для определения функции полезности, сам подход далек от того, чтобы быть научно обоснованным. То, что процедура полностью определяется мнением лица, принимающего решение, порождает сомнения относительно надежности описанного процесса. Процедура, в частности, неявно предполагает, что лицо, принимающее решение, является рационально мыслящим — требование, которое не всегда может быть согласовано с вариациями в поведении и настроении, что является типичным для человеческой личности. В этом отношении лицо, принимающее решение, должно придерживаться концепции полезности в широком смысле, в соответствии с которой денежные величины не должны быть единственным решающим фактором в теории принятия решений.
Глава 14. Теория игр и принятия решений
УПРАЖНЕНИЯ 14.2.3
1. Допустим, вы — студент университета штата Арканзас, и имеете сильное желание присутствовать на следующем баскетбольном матче. Проблема в том, что входной билет стоит 10 долл., а у вас есть лишь 5 долл. Вы можете рискнуть 5 долл. в игре в покер с шансами 50 на 50 удвоить свою сумму или совсем ее проиграть.
a) Будете ли вы, исходя из реальной стоимости денег, искушать судьбу, играя в покер?
b) Учитывая ваше сильное желание присутствовать на матче, переведите наличные деньги в функцию полезности.
c) Основываясь на функции полезности, которую вы построили, примете ли вы участие в игре в покер?
2. Семья переехала в местность, где возможны землетрясения, и собирается построить дом. Решается вопрос, стоит ли строить дом в соответствии с высокими стандартами, рассчитанными на сейсмическую зону. Строительство дома в соответствии с такими стандартами обойдется в 850 ООО долл., а без их учета — в 350 000 долл. В случае землетрясения (его вероятность равна 0,001) восстановление дома, построенного без соответствующих стандартов, обойдется в 900 000 долл. Примените в этой ситуации рассмотренную выше процедуру использования лотереи, предполагая, что шкала полезности изменяется от 0 до 100.
3. Инвестиция в 10 000 долл. в предприятие с высоким уровнем риска имеет шанс 50 на 50 увеличить эту сумму до 14 000 долл. на протяжении следующего года либо уменьшить ее до 8 000 долл. Это значит, что чистый доход составит либо 4000 долл., либо -2000 долл.
a) Принимая позицию нейтрального к риску инвестора и шкалу полезности от 0 до 100, определите полезность 0 долл. чистого дохода и соответствующую "нейтральную" вероятность.
b) Пусть два инвестора А и В определили следующие "нейтральные" вероятности.
Вероятность
Чистая прибыль (долл.) | Инвестор А | Инвестор В |
-2000 | 1,00 | 1,00 |
-1000 | 0,30 | 0,90 |
0,20 | 0,80 | |
0,15 | 0,70 | |
0,10 | 0,50 | |
0,05 | 0,40 | |
0,00 | 0,00 |
Нарисуйте графики функций полезности для инвесторов А и В и охарактеризуйте их отношение к риску.
с) Пусть инвестор А может вложить деньги в одно из двух рискованных предприятий: I или И. Инвестиция в предприятие I может принести прибыль в сумме 3000 долл. с вероятностью 0,4 или убыток в 1000 долл.
14.3. Принятие решений в условиях неопределенности
с вероятностью 0,6. Инвестиция в предприятие II может принести прибыль в 2000 долл. с вероятностью 0,6 или вовсе не принести прибыли с вероятностью 0,4. Используя функцию полезности инвестора А, построенную в предыдущем пункте, и критерий ожидаемой полезности, определите предприятие, которое следует выбрать инвестору А. Каково ожидаемое денежное значение, соответствующее выбранному предприятию (используйте линейную интерполяцию функции полезности)?
d) Повторите упражнение предыдущего пункта для инвестора В.
14.3. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Принятие решений в условиях неопределенности, как и в условиях риска, требует определения альтернативных действий, которым соответствуют платежи, зависящие от (случайных) состояний природы. Матрицу платежей в задаче принятия решений с т возможными действиями и п состояниями природы можно представить следующим образом.
S1 | s2 | sn | |
ai | Kai, si) | Kai, s2) | v(a:, s„) |
аг | i/(a2, si) | i/(a2, s2) | Ka2, s„) |
Kam, si) | v(am, s2) | Kam, sn) |
Элемент а, представляет i-e возможное решение, а элемент st— j-e состояние природы. Плата (или доход), связанная с решением а, и состоянием st, равна t>(a,, s;).
Отличие между принятием решений в условиях риска и неопределенности состоит в том, что в условиях неопределенности вероятностное распределение, соответствующее состояниям s;, /=1,2, п, либо неизвестно, либо не может быть определено. Этот недостаток информации обусловил развитие следующих критериев для анализа ситуации, связанной с принятием решений.
1. Критерий Лапласа.
2. Минимаксный критерий.
3. Критерий Сэвиджа.
4. Критерий Гурвица.
Эти критерии отличаются по степени консерватизма, который проявляет индивидуум, принимающий решение, перед лицом неопределенности.
Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного основания4, который гласит, что, поскольку распределение вероятностей состояний P(s/) неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний природы равны между собой, т.е.?{s,} = P{s2} =... = P{sJ = 1/п. Если при этом у(а,, sy) представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает
4 Этот принцип впервые сформулирован Я. Бернулли. —
Прим. перев.
Глава 14. Теория игр и принятия решений
Если величина v(at, sy) представляет расходы лица, принимающего решение, то оператор "max" заменяется на "min".
Максиминный (минимаксный) критерий основан на консервативном осторожном поведении лица, принимающего решение, и сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших. Если величина v(at, sy) представляет получаемую прибыль, то в соответствии с максиминным критерием в качестве оптимального выбирается решение, обеспечивающее
naxjminv^.Sj jj.
Если величина v(at, sf) представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением.
ггап|таху(а,,5^|.
Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) v(at, s) матрицей потерь riat, s}, которая определяется следующим образом.
max{v(at,5;)}-v(a,.,s;), если v-доход, v^a^Sj)-min{v(et,S;)}, если v-потери.
Чтобы показать, как критерий Сэвиджа "смягчает" минимаксный (максиминный) критерий, рассмотрим следующую матрицу платежей и(а, s.):
S1 | S2 | Максимум строк | |
ai | 11 ООО | 11 000 | |
a2 | 10 000 | 10 000 | 10 000 <— минимакс |
Применение минимаксного критерия приводит к тому, что решение а2 с фиксированными потерями в 10000 долл. является предпочтительным. Однако можно выбрать и av так как в этом случае существует возможность потерять лишь 90 долл., если реализуется состояние s2, при потенциальном выигрыше 11 000 долл.
Посмотрим, какой результат получится, если в минимаксном критерии вместо матрицы платежей v(ajt s^) использовать матрицу потерь ria^s}.
S1 | S2 | Максимум строк | |
ai | 1000 <- минимакс | ||
аг |
Как видим, минимаксный критерий, применяемый к матрице потерь, приводит к выбору решения а, в качестве предпочтительного.
Рассмотрим теперь критерий Гурвица. Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений — от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Пусть 0 < а< 1 и величины v(alt представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует
14.3. Принятие решений в условиях неопределенности
тах|атаху(а;,^у) + (1 - a) min v^.s^j.
Параметр а— показатель оптимизма. Если ог= 0, критерий Гурийца становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия. Если а= 1, критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшие из наилучших условий. Мы можем конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма) надлежащим выбором величины огиз интервала [0, 1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор а= 0,5 представляется наиболее разумным.
Если величины и(а,, s.) представляют потери, то критерий принимает следующий вид:
rranjarnin v(a;,sj + (1 -a)maxv(a,,syH.
Пример 14.3.1
Национальная школа выживания подбирает место для строительства летнего лагеря в центре Аляски в целях тренировки людей на выживание в условиях дикой природы. Школа считает, что число участников сбора может быть 200, 250, 300 или 350 человек. Стоимость летнего лагеря будет минимальной, поскольку он строится для удовлетворения только определенных небольших потребностей. Отклонения в сторону уменьшения или увеличения относительно идеальных уровней потребностей влекут за собой дополнительные затраты, обусловленные строительством избыточных (неиспользуемых) мощностей или потерей возможности получить прибыль в случае, когда некоторые потребности не удовлетворяются. Пусть переменные a-at представляют возможные размеры лагеря (на 200, 250, 300 или 350 человек), а переменные 5,-54 — соответствующее число участников сбора. Следующая таблица содержит матрицу стоимостей (в тысячах долларов), относящуюся к описанной ситуации.
S1 | s2 | S3 | S4 | |
ai | ||||
а2 | ||||
аз | ||||
а> |
Описанная ситуация анализируется с точки зрения четырех рассмотренных выше критериев.
Критерий Лапласа. При заданных вероятностях P{s^ = 1/4, j= 1, 2, 3, 4, ожидаемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются следующим образом.
М{ах) = (1/4)(5 + 10 + 18 + 25) = 14 500,
М{аг) = (1/4)(8 + 7 + 12 + 23) = 12 500 <- Оптимум,
М{а3) = (1/4)(21 + 18 + 12 + 21) = 18 000,
M{at) = (1/4)(30 + 22 + 19 + 15) = 21 500.
578 Глава 14. Теория игр и принятия решений
Минимаксный критерий. Этот критерий использует исходную матрицу стоимостей.
Si S2 S3 S4 Максимум строк
a-i | ||||||
а2 | ||||||
а3 | 21 <- минимакс | |||||
ад | ||||||
Критерий Сэвиджа. Матрица потерь определяется посредством вычитания чисел 5, 7, 12 и 15 из элементов столбцов от первого до четвертого соответственно. Следовательно, | ||||||
S1 | S2 | S3 | s4 | Максимум строк | ||
ai | ||||||
8 <— минимакс | ||||||
аэ | ||||||
ад | ||||||
Критерий Гурвица. Результаты вычислений содержатся в следующей таблице. | ||||||
Альтернатива Минимум строк | Максимум строк | «(минимум строки) + (1 - а)(максимум строки) | ||||
ai | 25 - 20а | |||||
аг | 23-16а | |||||
аз | 21 -9а | |||||
ад | 30-15а |
Используя подходящее значение для а, можно определить оптимальную альтернативу. Например, при а= 0,5 оптимальными являются либо альтернатива а,, либо а2, тогда как при а= 0,25 оптимальным является решение а3.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2181 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!