Silver-Meal Heuristic Inventory Model 5 страница

Глава 14. Теория игр и принятия решений

Пример 14.1.1

Мартин Ганс — выпускник-отличник средней школы, который получил полную стипендию от трех университетов: А, В и С. Для того чтобы выбрать университет, Мартин сформулировал два основных критерия: местонахождение университета и его академическая репутация. Будучи отличным учеником, он оценивает академи­ческую репутацию университета в пять раз выше, чем его местонахождение. Это при­водит к тому, что репутации университета приписывается вес примерно 83 %, а его местонахождению— 17%. Далее Мартин использует системный анализ (сущность его излагается ниже) для оценки трех университетов с точки зрения их местонахож­дения и репутации. Проведенный анализ дает следующие оценки.

		Университет
Критерии	А	В	С
Местонахождение	12,9%	27,7%	59,4%
Репутация	54,5%	27,3%	18,2%

Структура задачи принятия решений приведена на рис. 14.1. Задача имеет единст­венный иерархический уровень с двумя критериями (местонахождение и репута­ция) и три альтернативных решения (университеты А, В и С).

Решение:

Критерий иерархии 1-го уровня:

Альтернативы:

Ун. А (0,129)

(

Местоположение (0,17)

Ун. В

(0,277)

L

Выбор университета

Ун. С (0,594)

I-

Ун. А (0,545)

J

Репутация (0,83)

Уи.В (0,273)

J

-1

Ун. С (0,182)

J

I

0,17 х 0,129 + 0,83 х 0,545 = 0,4743 0,17 х 0,277 + 0,83 х 0,273 - 0,2737 0,17 х 0,594 + 0,83 х 0,182 = 0,2520

!1

Университет А Университет В

Рис. 14.1. Иерархия принятия решений примера 14.1.1

Университет С

Оценка трех университетов основана на вычислении комбинированного весового коэффициента для каждого из них.

Университет А: 0,17 х 0,129 + 0,83 х 0,545 = 0,4743.

Университет В: 0,17 х 0,277 + 0,83 х 0,273 = 0,2737.

Университете: 0,17 х 0,594 + 0,83 х 0,182 = 0,2520.

На основе этих вычислений университет А получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором Мартина.

14.1. Принятие решений в условиях определенности — метод анализа иерархий

Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерар­хических уровней со своими критериями. Предположим в примере 14.1.1, что се­стра-близнец Мартина Джейн также получила полную стипендию от трех универ­ситетов. Однако их родители ставят условие, что дети должны учиться в одном университете, тогда они смогут пользоваться одним автомобилем. На рис. 14.2 приведена структура задачи выбора решения, которая теперь включает два иерар­хических уровня со своими критериями. Величины р и q (предположительно рав­ные) на первом иерархическом уровне представляют собой весовые коэффициенты, которые приписываются точке зрения Мартина и Джейн относительно процесса выбора соответственно. Второй иерархический уровень использует веса (р,,р₂) и (q_v q₂) для отображения индивидуальных точек зрения Мартина и Джейн относи­тельно критериев местонахождения и академической репутации каждого универ­ситета. Остальная часть структуры принятия решения может быть интерпретиро­вана аналогично предыдущему примеру. Заметим, что p + q = l, р₁+р₂=1,?₁ +?₂=1,р₁₁+р₁₂+р₁з=1,р₂₁+р₂₂+р₂₃= 1, q_n + q_l2 + <7₁₃=1, t7_2I+t7₂₂ + i7₂₃ =l. Опре­деление комбинированного веса для университета А, представленное на рис. 14.2, демонстрирует, каким образом вычисляются эти показатели.

Решение:

Критерий иерархии

1- го уровня:

Критерий иерархии

2- го уровня:

Альтернативы:

Выбор университета

Мартин (р)

Джейн (q)

Местоположение^,) Репутация (р₂) Местоположение (?,) Репутация^)

Ун. А

Ун. В

Ун. С

Ун. А

Ун. В

Ун. С

Ун. А

Ун. В

Ун. С

Ун. А

Ун. В

Ун. С

(Рп)

(Рп)

(Р13>

Ы 1—.—

(Ргг)

(Ртз)

Ы ■—р—1

(*12>

(*13)

Ы 1—-г—1

(Чп)

(to)

J

Ун. А =р(р, хр„ +р₂ хр_п) + q(q_x х q_n + q₂ хq_n) Рис. 14.2. Расширенная иерархия принятия решений примера 14.1.1

УПРАЖНЕНИЕ 14.1.1

1. Пусть для задачи выбора университета Мартином и Джейн установлены сле­дующие значения весовых коэффициентов.

р = 0,5, t7 = 0,5,

р, = 0,17, р₂ = 0,83,

р_и = 0,129, р,₂ - 0,277, р₁₃ = 0,594,

р„ = 0,545, р₂₂ = 0,273, р₂₃ = 0,182,

д₁ = 0,3,с7_г = 0,7,

Глава 14. Теория игр и принятия решений

_?11-0,2,_?11-0,3,_?1,-0,5, _?я = 0,5,д_и-0,2,_?я-0,3.

Основываясь на этой информации, оцените с помощью комбинированных ве­сов каждый из трех университетов.

Определение весовых коэффициентов. Сложность метода анализа иерархий за­ключается в определении относительных весовых коэффициентов (таких, как ис­пользованные в примере 14.1.1) для оценки альтернативных решений. Если имеется п критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая процедура создает мат­рицу А размерности пхп, именуемую матрицей парных сравнений, которая отража­ет суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критери­ев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерий в строке i (i = 1, 2,

п) оценивается относительно каждого из критериев, представленных п столбцами. Обозначим через а, элемент матрицы А, находящийся на пересечении i-й строки и)-го столбца. В соответствии с методом анализа иерархий для описания упомянутых оценок используются целые числа от 1 до 9. При этом а = 1 означает, что i-й и;'-й критерии одинаково важны, a_tj = 5 отражает мнение, что i-й критерий значительно важнее, чем j-тл, a a_tj = 9 указывает, что i-й критерий чрезвычайно важнее /-го. Другие промежуточные значения между 1 и 9 интерпретируются аналогично. Согласован­ность таких обозначений обеспечивается следующим условием: если a_t~k, то авто­матически a_jt = 1/k. Кроме того, все диагональные элементы а, матрицы А должны быть равны 1, так как они выражают оценку критерия относительно самих себя.

Пример 14.1.2

Покажем, как определяется матрица сравнения А для задачи выбора Мартина из примера 14.1.1. Начнем с главного иерархического уровня, который имеет дело с критериями академической репутации университета и его местонахождения. С точки зрения Мартина, академическая репутация университета значительно важнее его местонахождения. Следовательно, он приписывает элементу (2, 1) мат­рицы А значение 5, т.е. а₂₁ = 5. Это автоматически предполагает, что а₁₂= 1/5. Обо­значив через R и L критерии репутации университета и его местонахождения, мож­но записать матрицу сравнения следующим образом.

L	R
	\\
,5

Относительные веса критериев Rw. L могут быть определены путем деления элемен­тов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Следовательно, для нормализации матрицы А делим элементы первого столбца на величину 1 + 5 = 6, элементы второго— на величину 1 + 1/5 = 1,2. Искомые относительные веса w_R и w_L критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответст­вующих строк нормализованной матрицы А. Следовательно,

L R Средние значения элементов строк

L (ОМ 0,17^ w_R =(0,83 + 0,83)/2 = 0,83,

~R (,0,83 0,83 J ^=(0,17 + 0,17)72 = 0,17.

14.1. Принятие решений в условиях определенности — метод анализа иерархий

Врезультате вычислений получили w_R = 0,83 и w_L = 0,17, т.е. те веса, которые пока­заны на рис. 14.1. Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы А. Этот тезис детальнее обсуждается ниже. Относительные веса альтернативных решений, соответствующих университетам А, В и С, вычисляются в пределах каждого критерия R и L с использованием следую­щих двух матриц сравнения.

А

А, = В

С

ABC

2 2 5 2

Суммы элементов столбцов =[8, 3,5, 1.7]

А

: В С

А И С

2 3

1 i

\ 1

Суммы элементов столбцов =[1.83, 3,67, 5.5],

Элементы матриц А_л и A_L определены на основе суждений Мартина, касающихся относительной важности трех университетов.

При делении элементов каждого столбца матриц A_R и A_L на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.

А

N, =В

С

N.

А

: В С

ЛВС ^ 0,125 0,143 0.118^ 0,250 0,286 0,294 ^0,625 0,571 0,588

ABC '0,545 0,545 0,545^ 0,273 0,273 0,273 1^0,182 0.182 0,182

Средние значения элементов строк w_IA =(0,125 + 0,143 + 0,118)/3 = 0,129, w_IB = (0,250 + 0,286 + 0,294) /3 = 0,277, w,,. = (0,625 + 0,571 + 0,588) / 3 = 0,594.

Средние значения элементов строк _Wra = (0,545 + 0,545 + 0,545) / 3 = 0,545, w_RB = (0,273 + 0,273 + 0,273) / 3 = 0,273, w_RC =(0,182 + 0,182 + 0,182)/3 = 0.182.

Величины (w_RA, w_RB, w_RC) = (0,545,0,273,0,182) дают соответствующие веса для университетов А, В и С с точки зрения академической репутации. Аналогично ве­личины (wm> ^wi.b, w_lc) = (0,129, 0,277, 0,594) являются относительными весами, ка­сающимися местонахождения университетов.

Согласованность матрицы сравнений. В примере 14.1.2 мы отмечали, что все столбцы нормализованных матриц N и N„ идентичны, а столбцы матрицы N_L тако­выми не являются. Одинаковые столбцы указывают на то, что результирующие отно­сительные веса сохраняют одно и то же значение независимо от того, как выполняет­ся сравнение. В этом случае говорят, что исходные матрицы сравнения А и А, являются согласованными. Следовательно, матрица A_L не является таковой.

Согласованность означает, что решение будет согласовано с определениями парных сравнений критериев или альтернатив. С математической точки зрения

Глава 14. Теория игр и принятия решений

согласованность матрицы А означает, что a_tJa_jk = a_lh для всех I, j и к. Например, в матрице А_я из примера 14.1.2 а₁₃ = 3 и а₁₂а₂₃ = 2 х 3/2 = 3. Свойство согласованно­сти требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы любой матрицы сравнений размерностью 2x2 являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной. Не все матрицы сравнений являются согласованными. Действительно, принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе человеческих суждений, можно ожидать неко­торую степень несогласованности, и к ней следует относиться терпимо при усло­вии, что она не выходит за определенные "допустимые" рамки.

Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности "допустимым", необхо­димо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравне­ний А. В примере 14.1.2 мы видели, что идеально согласованная матрица А порож­дает нормализованную матрицу N, в которой все столбцы одинаковы:

N =

Отсюда следует, что матрица сравнений А может быть получена из матрицы N пу­тем деления элементов i-ro столбца на w_t (это процесс, обратный к нахождению матрицы N из А). Итак, получаем следующее.

А =

w.

3-

w„

Щ

w..

Используя приведенное определение матрицы А, имеем

1 ^ -

^ 1

V w2	=		= n	<<

В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следую­щим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда

Aw = =nw,

где w — вектор-столбец относительных весов w_t, i = 1, 2, п.

Когда матрица А не является согласованной, относительный вес w_: аппроксими­руется средним значением п элементов i-й строки нормализованной матрицы N (см. пример 14.1.2). Обозначив через w вычисленную оценку (среднее значение), можно показать, что

Aw = n„,w,

14.1. Принятие решений в условиях определенности — метод анализа иерархий

где п_тлу.>п. В этом случае, чем ближе n_msx к п, тем более согласованной является матрица сравнения А. В результате в соответствии с методом анализа иерархий вы­числяется коэффициент согласованности в виде

RI

где

п ~~ п

£1 ₌_ш«--коэффициент согласованности матрицы А,

п -1

1.98(i-2)

RI =-¹-- — стохастический коэффициент согласованности матрицы А.

п

Стохастический коэффициент согласованности RI определяется эмпирическим пу­тем как среднее значение коэффициента CI для большой выборки генерированных случайным образом матриц сравнения А.

Коэффициент согласованности CR используется для проверки согласованности матрицы сравнения А следующим образом. Если CR < 0,1, уровень несогласованно­сти является приемлемым. В противном случае уровень несогласованности матри­цы сравнения А является высоким, и лицу, принимающему решение, рекоменду­ется проверить элементы парного сравнения а_ц матрицы А в целях получения более согласованной матрицы.

Значение п_га>х вычисляется на основе матричного уравнения Aw = n^w, при этом

нетрудно заметить, что £-е уравнение этой системы имеет вид:

Za,,w, = 7i„„vv,,! = 1, 2.....п. ij j max i ' i» j

Поскольку ^Г" мл = 1, легко проверить, что

» (п \ II

Это значит, что величину л_тах можно определить путем вычисления вектор-столбца Aw с последующим суммированием его элементов.

Пример 14.1.3

В примере 14.1.2 матрица A_t является несогласованной, так как столбцы матрицы \S_L неодинаковы. Требуется исследовать согласованность матрицы A_t.

Вычислим значение «„их- Из данных примера 14.1.2 имеем

w, = 0,129, w₂ = 0,277, щ = 0,594.

Следовательно,

	'0,129 "|		'0,3863'
	0,277	=	0,8320
2 1	,0,594		,1,7930,

Отсюда получаем

Глава 14. Теория игр и принятия решений

«тах= 0,3863 + 0,8320 + 1,7930 = 3,0113. Следовательно, для п = 3 имеем

С/ ₌ 5^₌³'⁰¹¹³-³₌₀,005б5, п-\ 3-1

„_alM("-2) ₌ Ug8xl

п 3

_{СЛ =} а ₌ о₁оо5б5 _{= 0856}

RI 0,66

Так как CR < 0,1, уровень несогласованности матрицы А_£ является приемлемым.

Реализация метода анализа иерархий в Excel. Шаблон Excel chl4AHP.xls разрабо­тан для решения задач принятия решений, у которых максимальный размер матриц сравнения не превышает 8x8. Так же, как и в шаблонах Excel, описанных в главах 10 и 11, здесь пользователю необходимо некоторые действия выполнить вручную.

На рис. 14.3 показано применение этого шаблона для решения задачи примера 14.1.2². Матрицы сравнения вводятся по одной за раз в верхнюю часть раздела входных данных. Порядок, в котором вводятся матрицы сравнения не важен, тем не менее, будет больше пользы, если рассматривать их в порядке иерархии. После ввода коэффициентов матрицы сравнения в разделе выходных результатов в ниж­ней части рабочего листа появится соответствующая нормированная матрица, а также ее коэффициент согласованности CR. Далее вы должны скопировать значе­ния весов if в столбце J и вставить их в область Solution summary (правая часть таб­лицы). Для вставки не забудьте выполнить команду ВставкаОСпециальная вставка^Значения, чтобы скопировать значения, а не формулы. Эти действия сле­дует повторять для всех матриц сравнения.

"5 | Ё ■ f J_j ТГ Г