Silver-Meal Heuristic Inventory Model 4 страница

Если мы используем значение и = 3 в качестве базы скользящего среднего, то оцен­ка спроса на следующий месяц (г = 25) будет равна средней величине спроса за 22, 23 и 24 месяцы:

. 62 + 70 + 72 ^₀ у^ =---= 68 единиц.

Оценка величины спроса в 68 единиц для 25 месяца будет использоваться также при прогнозе спроса для г = 26:

. 70 + 72 + 68 „„ у^ =---= 70 единиц.

Когда значение реального спроса в 25 месяце будет известно, его следует использо­вать для вычисления новой оценки объема спроса для 26 месяца в виде средней ве­личины спроса 23, 24 и 25 месяцев.

Средство вычисления скользящего среднего является составной частью надстройки Пакет анализа Excel. Для его использования выполните команду Сервис=>Анализ

13.1. Прогнозирование с использованием скользящего среднего 539

данныхоСкользящее среднее¹. В открывшемся одноименном диалоговом окне (см. рис. 13.1) укажите местоположение на рабочем листе исходных данных (в поле ввода Входной интервал), а также определите, куда выводить расчетные данные (в поле ввода Выходной интервал). Для вывода графика установите флажок Вывод графика. На рис. 13.1 показано заполненное окно Скользящее среднее и результа­ты работы этого средства.

Сконьзящее среднее

Входные данные Входной интервал.

Г" цвтии в первой строке

Интервал:

Параметры вывода Выгодной интервал:

$В$2:$В$25

"3

OK

Справка

|$С$2

Р Вывод графика

Г Стандартные погрешности

	Месяц t	Спрос yt Прогноз
		46 #Н/Д
		56 #Н/Д
		54 52
		43 51
		57 51 33333
		56 52
		67 60
		62 61.66667
		50 59.66667
		56 56
		47 51
		56 53
		54 52 33333
		42 50 66667
		64 53 33333
		60 55 33333
		70 64 66667
		66 65 33333
		57 64 33333
		55 59 33333

80 70 60 50 40 30 20 10 0

Скользящее среди		■ Фактический - Прогноз
_ 1 1. 1.. ■ ■ i I 1.. ■ 1 1 ■ J 1. 1. 1 i

7 10 13 16 19 Точка данных

Рис. 13.1. Применение средства Скользящее среднее к данным примера 13.1.1

¹ Команда Сервис^Анализ данных будет доступна только тогда, когда к Excel присоеди­нена надстройка Пакет анализа, которая автоматически не присоединяется при инсталляции Excel. Чтобы присоединить эту надстройку, выберите команду Сервис¹* Надстройки и в диа­логовом окне Надстройки установите флажок Пакет анализа. — Прим. ред.

Глава 13. Методы прогнозирования

УПРАЖНЕНИЯ 13.1

1. В примере 13.1.1 оцените объем спроса для t = 25, используя п = 12 в качест­ве базы скользящего среднего. Какой эффект имеет большее значение п с точки зрения подавления тенденции изменения данных?

2. Число кондиционеров, проданных за последние 24 месяца, приведено в табл. 13.2. Проанализируйте эти данные с точки зрения применимости ме­тода скользящего среднего.

Таблица 13.2

Месяц	Продажа	Месяц	Продажа

3. В табл. 13.3 содержатся данные за десятилетний период о количестве людей, посетивших туристическую зону на автомобиле и воздушном транспорте. Проанализируйте эти данные с точки зрения применимости метода скользя­щего среднего.

Таблица 13.3

Год
Автомобиль
Самолет

4. В табл. 13.4 представлены данные об объемах продажи универмага (в мил­лионах долларов). Проанализируйте эти данные с точки зрения применимо­сти метода скользящего среднего.

Таблица 13.4

Год
Продажа	21,0	23,2	23,2	24,0	24,9	25,6	26,6	27,4	28,5	29,6

5. Университет предлагает курсы лекций (вне своей территории) в пяти насе­ленных пунктах штата. В табл. 13.5 приведены данные о числе слушателей курсов на протяжении шести лет. Данные относительно каждого года разбиты

13.2. Экспоненциальное сглаживание

по семестрам: осень (1), весна (2) и лето (3). Необходимо использовать эти дан­ные для оценки числа слушателей в следующем году. Проанализируйте приве­денные данные с точки зрения применимости метода скользящего среднего.

Таблица 13.5

			Населенный пункт, где проводятся курсы лекций
Семестр

13.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ

Прогнозирование путем экспоненциального сглаживания (метод экспоненци­ального сглаживания) предполагает, что вероятностный процесс определяется мо­делью y_t — Ь + £■, это предположение использовалось и при рассмотрении метода скользящего среднего. Метод экспоненциального сглаживания разработан для то­го, чтобы устранить недостаток метода скользящего среднего, который состоит втом, что все данные, используемые при вычислении среднего, имеют одинаковый вес. В частности, метод экспоненциального сглаживания приписывает больший ве­совой коэффициент самому последнему наблюдению.

Глава 13. Методы прогнозирования

Определим величину а(0 < а< 1) как константу сглаживания, и пусть известны значения временного ряда для прошедших t моментов времени у,, у₂, у_г Тогда оценка y'_ltl для момента времени t + 1 вычисляется по формуле

Коэффициенты при y_t, y_t__v y_t_₂,... постепенно уменьшаются, тем самым эта проце­дура приписывает больший вес последним (по времени) данным.

Формулу для вычисления у'^ можно привести к следующему (более простому) виду:

Таким образом, значение y'_tl можно вычислить рекуррентно на основании значения у'. Вычисления в соответствии с этим рекуррентным уравнением начинаются с того, что пропускается оценка у', для t = 1 и в качестве оценки для 1 = 2 принимается наблю­денная величина для £ = 1, т.е. у\ = у,. В действительности же для начала можно ис­пользовать любую разумную процедуру. Например, часто в качестве оценки у'₀ берется усредненное значение y_t по "приемлемому" числу периодов в начале временного ряда.

Выбор константы сглаживания а является решающим моментом при вычислении значения прогнозируемой величины. Большее значение а приписывает больший вес последним наблюдениям. На практике значение «берут в пределах от 0,01 до 0,30.

Пример 13.2.1

Применим метод экспоненциального сглаживания к данным из примера 13.1.1 при а=0,1-

При вычислениях пропускается у' и принимается, что у' = у, = 46 единиц. Для примера последовательно вычислим

у\ = ау, + (\-а)у'₂ =0,1x56 + 0,9x46 = 47,

у\ =а>-э + (1-а)>>; =0,1x54 + 0,9x47 = 47,7.

На рис. 13.2 показано диалоговое окно средства Excel Экспоненциальное сглаживание и результаты его применения к данным примера 13.2.1. Для работы с этим средством надо выполнить такие же действия, как при работе со средством Скользящее среднее (см. раздел 13.1). Отметим, что в диалоговом окне Экспоненциальное сглаживание в поле Фактор затухания задается не величина кон­станты сглаживания а, а величина 1 - а.

Из приведенных данных следует, что оценка для t = 25 равна

у'_2$ = ау₂₄+(1~а)у₂₄ =0,1x72 + 0,9x57,63 = 59,07 единиц.

Эта оценка значительно отличается от полученной с помощью метода скользящего среднего (68 единиц). Большее значение для отдаст оценку, более близкую к оценке метода скользящего среднего.

yli = ^аУ, + 0-«){«>■,-,+ «(1 - «) У,-г + «С - «)² У,-, +•■•} = Щ, +(!"«) У,-

13.2. Экспоненциальное сглаживание

Экспоненциальное сглаживание

Входные данные Вводной интервал, фактор затухания: Г" Метки

Параметры вывода Выходной интервал: |$В$2:$8$25 |09

"3

ОХ

Отмена

Справка

*С$2

~3

Р Вывод графика

Г Стандартные rjorpeujHOCTvi

1 2 3 4 5 6 7

46 #Н/Д 56

54 43 57 56 67

ABC 1 Месяц t Спрос yt Прогноз

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

62 50 56 47 56 54 42 64 60 70 66 57 55

46 47 47.71 47 23, 48 207 48 9863

50 78767 51 9089

51 71801

52 14621

51 63159

52 06843 52 26159 51.23543 52 51189

53 2607 54 93463 56 04117 56 13705

Экспоненциальное сглаживание

1 4

7 10 13 16 19 Точка данных

Рис. 13.2. Применение экспоненциального сглаживания к данным примера 13.2.1

УПРАЖНЕНИЯ 13.2

1. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражне­ния 13.1.2 при а =0,2.

2. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражне­ния 13.1.3 при а= 0,2.

3. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражне­ния 13.1.4 при а= 0,2.

4. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражне­ния 13.1.5 при а= 0,2.

544 Глава 13. Методы прогнозирования

13.3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Регрессионный анализ определяет связь между зависимой переменной (например, спросом на продукцию) и независимой переменной (например, време­нем). Часто применяемая формула регрессии, описывающая зависимость между переменной у и независимой переменной х, имеет вид

у = Ь₀ + Ь_гх + Ь₂х^г +... + Ь_пх" + £,

где Ь₀, Ь_},Ь_а — неизвестные параметры. Случайная ошибка £ имеет нулевое ма­тематическое ожидание и постоянную дисперсию (т.е. дисперсия случайной вели­чины ^одинакова для всех наблюдаемых значений у).

Самая простая регрессионная модель предполагает, что зависимая переменная линейна относительно независимой переменной, т.е.

у" = а + Ьх.

Константы а и Ь определяются из временного ряда с использованием метода наи­меньших квадратов, в соответствии с которым находятся значения этих констант, доставляющих минимум сумме квадратов разностей между наблюдаемыми и вы­численными величинами. Пусть (у,, х) представляет 1-ю точку исходных данных временного ряда, I = 1, 2,..., п. Определим сумму квадратов отклонений между на­блюдаемыми и вычисленными величинами.

Значения коэффициентов а и Ь определяются из соответствующих условий мини­мума функции S, которые представимы в виде следующих уравнений.

— = -2Y(y.-a-bx_i)x_l=0.

После алгебраических преобразований получаем следующее решение данных уравнений.

ь = м±-,

Y^xf-nx¹

1-Х

а = у - Ьх,

Ь,±У,

гдел;= ——, у= ——. п п

Приведенные соотношения показывают, что сначала необходимо вычислить Ь, а затем величину коэффициента а.

Вычисленные значения а и b имеют силу при любом вероятностном распределе­нии случайных величин y_t. Однако если y_t являются нормально распределенными случайными величинами с одинаковым стандартным отклонением, можно устано­вить доверительный интервал для среднего значения оценки при х = х° (т.е. для у⁰ = а + Ьх°) в виде интервала

13.3. Регрессионный анализ

(a + bx°)

±t.

a/2.n-2

ⁿ~² V

Мы заинтересованы в установлении для прогнозируемых значений зависимой пе­ременной у соответствующих им интервалов предсказания (это важнее, чем довери­тельный интервал для среднего значения оценки). Как и следовало ожидать, интер­вал предсказания для значения прогнозируемой величины является более широким, чем доверительный интервал для среднего значения оценки. Действительно формула для интервала предсказания такая же, как и для доверительного интервала, но с той лишь разницей, что член 1/п под вторым квадратным корнем заменен на (п + 1)/п.

Чтобы проверить, насколько линейная модель у*=а + Ьх соответствует исход­ным данным, необходимо вычислить коэффициент корреляции г согласно формуле:

где -1<г< 1.

Если г = ±1, тогда линейная модель идеально подходит для описания зависимо­сти между у и х. В общем случае, чем ближе |г| к 1, тем лучше подходит линейная модель. Если же г — 0, величины у и х могут быть независимыми. В действительно­сти равенство г = 0 является лишь необходимым, но не достаточным условием не­зависимости, так как возможен случай, когда для двух зависимых величин коэф­фициент корреляции будет равен нулю.

Пример 13.3.1

Применим модель линейной регрессии к данным из примера 13.1.1, которые для удобства приведены в табл. 13.6.

Таблица 13.6

Месяц, х,	Спрос, у,	Месяц, х,	Спрос, у,

г

Из данных этой таблицы получаем следующее.

Глава 13. Методы прогнозирования

£ >>,*, = 17842, £ jc, = 300, £ х; = 4900, £ у, = 1374, £ / = 80254.

1-1 /=1 /=! 1-1 i = l

Следовательно,

1 = 12,5, 7 = 57,25,

, 17842-24x57,25x12,5

Ь =-г-= 0,58,

4900 - 24х12,5²

а = 57,25-0,58х12,5 = 50. Таким образом, оценка спроса представляется формулой

/ = 50 + 0,58*.

Например, прих = 25 получаем / = 50 + 0,58 х 25 = 64,5 единицы. Вычисляем коэффициент корреляции:

17842-24x57,25x12,5

^(4900 - 24 х 12,5^г) (80254 - 24 х 57,25²)

= 0,493.

Относительно малое значение коэффициента корреляции г указывает на то, что линейная модель /= 50 + 0,58х является не совсем подходящей для исходных данных. Считается, как правило, что линейная модель подходит для исходных данных, если 0,75 < \\ < 1.

Предположим, необходимо вычислить 95% -ный доверительный интервал для по­лученной линейной оценки. Для этого надо сначала вычислить сумму квадратов отклонений от аппроксимирующей прямой. В табл. 13.7 приведены результаты этих вычислений.

Из табл.2 приложения В имеем f₀₀₂₅.₂₂ = 2,074. Следовательно, искомый довери­тельный интервал имеет вид

(50 + 0,58л;⁰) ±2,074^

1205,64 | 1 ₊ (/-12,5)'

24-2 \ 24 4900 - 24х12,5²' Это выражение можно упростить, в результате получим следующее.

/ (л-⁰ -12,5)"

(50 + 0,58л-⁰) ±15,35 W0,042 + -^v '

Чтобы продемонстрировать применение этой формулы, вычислим интервал пред­сказания для оценки спроса на следующий месяц (л-⁰ = 25). В этом случае коэффи­циент 0,042 должен быть заменен на 1,042,² и соответствующий интервал предска­зания определяется как (64,5 ±16,66) или (47,84,81,16). Следовательно, можно сказать, что с вероятностью 95 % спрос для х = 2Ъ будет находиться между 47,84 и 81,16 единицами.

² Напомним, что определение интервала предсказания основано на формуле, определяю­щей доверительный интервал, где под корнем слагаемое 1/п заменено на (п + 1)/п. — Прим.ред.

13.3. Регрессионный анализ 547

Таблица 13.7

X	У	У*	(y-yf
		50,58	20,98
		51,16	23,43
		51,74	5,11
		54,32	86,86
		52,90	16,81
		53,48	6,35
		54,06	152,77
		54,64	54,17
		55,22	27,25
		55,80	0,04
		56,38	87,98
		56,96	0,92
		57,54	12,53
		58,12	259,85
		58,70	28,09
		59,28	0,52
		59,86	102,82
		60,44	30,91
		61,02	16,16
		61,60	43,56
		62,18	103,63
		62,76	0,58
		63,34	44,53
		63,92	65,29

£(у, -у,*)' =1205,64

Вычисления регрессионного анализа обычно весьма сложны и громоздки. К сча­стью, нет необходимости выполнять их вручную. Excel предлагает для этого несколь­ко средств. На рис. 13.3 показан рабочий лист с исходными данными и диалоговое окно средства Регрессия, которое предназначено для выполнения вычислений рег­рессионного анализа. Excel автоматически сгенерирует выходной отчет этого средст­ва, содержащий всю необходимую информацию. Чтобы воспользоваться средством Регрессия, выберите команду Сервис=>Анализ данных^Регрессия.

УПРАЖНЕНИЯ 13.3

1. Примените метод линейной регрессии к данным из упражнения 13.1.2.

2. Примените метод линейной регрессии к данным из упражнения 13.1.3.

3. Примените метод линейной регрессии к данным из упражнения 13.1.4.

4. Примените метод линейной регрессии к данным из упражнения 13.1.5.

Глава 13. Методы прогнозирования

Докажите, что при линейной регрессии сумма разностей между расчетными и предсказанными величинами по всем исходным данным равна нулю, т.е. выполняется равенство

	1;
\ 3	2!
	з:
	4;
	5;
	б!
	7'
	?i
	?i
;if	10!
12J	11*
	!?i
	13;
	ui
	15;
	16;
	is:
20"1	19;
	20;	55л
2?	21!	52J

Е(л-лИ-

i=l

P грессия

Входные данные Входной интервал Y

Входной интервал X Г" Метки

Г" уровень надежности:

Параметры вывода

Выгодной интервал:, ^ Новый рабочий лист: Новая рабочая книга, Остатки Г~ Остатки

$А$2:$А$25] Г" Константа - ноль

ЕВ$2:$В$25

31 "3

3J

Г График остатков Г" Стандартизованные остатки & График подбора

Нормальная вероятность

Г" График нормальной вероятности

Справка

Рис. 13.3. Применение средства Регрессия к данным примера 13.2.3

ЛИТЕРАТУРА

1. Brown В. L. and O'Connell. Forecasting and Time Series: An Applied Approach Duxbury Press, Belmont, CA, 1993.

2. Brown R. G. Smoothing, Forecasting, and Prediction of Discrete Time Series, Pren­tice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1972.

3. Montgomery D. and Peck E. Introduction to Linear Regression Analysis, Wiley, New York, 1991.

4. Willis R. E. A Guide to Forecasting for Planners and Managers, Prentice Hall, Up­per Saddle River, N.J., 1987.

Литература, добавленная при переводе

1. Айвазян С. А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы экономет­рики. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

2. Макарова Н. В., Трофимец В. Я. Статистика в Excel. — М.: Финансы и стати­стика, 2002.

3. Минько А. А. Статистический анализ в Microsoft Excel. — М.: Диалектика, 2004.

4. Сигел Э. Ф. Практическая бизнес-статистика. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2002.

5. Ханк Дж. Э., Райте А. Дж., Уичерни Д. У. Бизнес-прогнозирование. — М.: Из­дательский дом "Вильяме", 2003.

ГЛАВА 14

ТЕОРИЯ ИГР И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

В теории принятия решений используются "разумные" процедуры выбора наи­лучшей из нескольких возможных альтернатив. Насколько правильным будет вы­бор, зависит от качества данных, используемых при описании ситуации, в которой принимается решение. С этой точки зрения процесс принятия решений может при­надлежать к одному из трех возможных условий.

1. Принятие решений в условиях определенности, когда данные известны точно.

2. Принятие решений в условиях риска, когда данные можно описать с помо­щью вероятностных распределений.

3. Принятие решений в условиях неопределенности, когда данным нельзя при­писать относительные веса (весовые коэффициенты), которые представляли бы степень их значимости в процессе принятия решений.

По существу, в условиях определенности данные надежно определены, в усло­виях неопределенности они не определены.¹ Принятие решений в условиях риска, следовательно, представляет "промежуточный" случай.

14.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ — МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Модели линейного программирования (главы 2-8) являются примером принятия решений в условиях определенности. Эти модели применимы лишь в тех случаях, ко­гда альтернативные решения можно связать между собой точными линейными функ­циями. В этом разделе рассматривается иной подход к принятию решений в ситуаци­ях, когда, например, для идей, чувств, эмоций определяются некоторые количественные показатели, обеспечивающие числовую шкалу предпочтений для возможных альтер­нативных решений. Этот подход известен как метод анализа иерархий.

Перед тем как изложить детали данного метода, рассмотрим пример, демон­стрирующий способ, с помощью которого оцениваются различные альтернатив­ные решения.

Это не значит, что в условии неопределенности полностью отсутствует информация о задаче. Речь идет о том, что имеющиеся данные трудно или невозможно классифицировать по степени значимости их для принятия решения, и что для этих данных, рассматриваемых как реализации случайных величин или процессов, неизвестна или не может быть опреде­лена их функция распределения или другие статистические характеристики. — Прим. ред.