Silver-Meal Heuristic Inventory Model 2 страница

Пусть х — количество используемых марок, тогда плотность вероятности х такова:

р(х) = —, х = 10,11,..., 24. ^w 15

Количество оставшихся марок определяется соотношением

[20-х, х = 10,11,...,19,

Следовательно,

4^х)-,

10 в противном случае.

Л/{Л(х)} = ^[(20-10) + (20-11) + (20-12) +... + (20-19)] + ^0 = з|.

Произведение у~0 необходимо для завершения вычисления математического ожидания. Вероятность того, что вообще не останется марок, равна

Р{х > 20} = Р(20) + Р(21) + Р(22) + Р(23)+ Р(24) = ⁵f Tj] = 7J-

12.3. Математическое ожидание и моменты случайной величины

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.1

1. В задаче из примера 12.3.1 вычислите среднее количество оставшихся марок при условии, что ежемесячно покупается число марок, соответствующее максимально возможной потребности в них.

2. Результаты решения задачи из примера 12.3.1 и предыдущего упражнения приводят к положительным значениям средних величин как при избытке, так и недостаче марок. Являются ли эти результаты противоречивыми? Дай­те объяснение.

3. Владелец газетного киоска каждое утро приобретает для продажи 50 экземп­ляров газеты Аль Ахрам. Ежедневный спрос х на эту газету является случай­ной величиной со следующим распределением

Pixy­

х = 35, 36,...,49,

х = 50,51.....59,

—, х = 60,61.....70.

a) Найдите вероятность того, что все газеты будут проданы.

b) Вычислите ожидаемое число непроданных газет.

c) Если владелец киоска приобретает газеты за 50 центов, продает за 1 долл., то какова его ожидаемая чистая прибыль в день?

12.3.1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Для общей характеристики свойств одномерной случайной величины х обычно используется две числовые характеристики: математическое ожидание (среднее) М{х} и дисперсия D{x}. Математическое ожидание является характеристикой по­ложения распределения случайной величины х на числовой оси относительно на­чала координат, а дисперсия — мерой ее разброса относительно математического ожидания М{х). Большее значение дисперсии свидетельствует о более высокой сте­пени неопределенности в описании случайной величины.

Формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины х могут быть получены из общей формулы для математического ожидания путем подстановкиh(x) = х дляМ{х) иh(x)"(х-М{х})² дляD{x}. Следовательно,

М{Х}­]Г хр (х), если х — дискретная случайная величина,

Ь

jV(x)<£t, если х — непрерывная случайная величина,

Ь,

^(х-М{х})~ р(х), если а: — дискретная случайная величина, ь

J(x - М {*}) f (x)dx, если х — непрерывная случайная величина.

Обоснованность вывода указанных формул легче просматривается для дискрет­ного распределения. В этом случае М{х) представляет собой взвешенную сумму

Глава 12. Основы теории вероятностей

дискретных значений х, D{x} — взвешенную сумму квадратов отклонения случайной величины х от М{х]. Ситуацию с непрерывно распределенной случайной величиной можно интерпретировать аналогично, заменив суммирование интегрированием.

Пример 12.3.2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для каждого из двух экспери­ментов, рассмотренных в примере 12.2.1.

Ситуация 1 (бросание игральной кости). Здесь плотность вероятности равна

р{х) = —, дг = 1,2,...,6. Следовательно, 6

-и-ШМММИ*)-"-

D{x} = -[(l-3,5)^:+(2-3,5)^:+(3-3,5)²+(4-3,5)²+(5-3,5)²+(6-3,5)²] = 2,917. Ситуация 2 (вращение стрелки). Пусть длина стрелки равна единице. Тогда

f(x)=-, 0<х<3,14.

^{V ;} 3,14

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются следующим образом.

314.

М{х}= f x-=—dx = \,57, ¹ ' o^J 3,14

D{x}= /(лг-1,57)² -\~dx = 0,822,

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.2

1. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, оп­ределенной в упражнении 12.2.1.1.

2. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, оп­ределенной в упражнении 12.2.1.2.

3. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины х, равномерно распределенной на интервале а < х < Ь, равны

, Ь + а ^{1 ;} 2

„_г, (Ь-а)^г

4. Докажите, что для случайной величины х, определенной на интервале а < х < Ь с заданной плотностью вероятности f(x), имеет место соотношение

D{x} = M{x²}-(M{x}f.

12.3. Математическое ожидание и моменты случайной величины

5. Пусть для случайной величины х, определенной на интервале а < х < Ь, зада­на плотность вероятности f(x) иу^сх + d, где end — константы. Докажите, что имеют место соотношения

M{y} = cM{x} + d, D{y} = c-D{x}.

12.3.2. Совместные распределения вероятностей

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины х^ и х₂, кото­рые определены соответственно на интервалах а, < х, < 6, и а₂ < х_г < Ь_г. Обозначим через f(x_v х₂) плотность совместного распределения вероятностей величин х, и х₂, а через /,(*,) и f₂(x₂) — маргинальные (частные) плотности распределения вероят­ностей величин ас, и х₂ соответственно. Тогда

/(лг,,х,)>0, a, <x,<b_v a₂<x₂<b₂, Jfifr, fa₂f(x_l,x₂) = l

b.

/iW= \f{x„x₂)dx₂,

fi(^xi) = \f(x_vx,)dx_t,

f(x_vx₂) = f_x{x_x)f₁{x₂), если*, нх₂ независимы.

Такие же формулы используются для дискретно распределенных случайных вели­чин, которые получаются в результате замены интегрирования суммированием.

Далее в этом разделе рассматриваются функции от нескольких случайных пе­ременных. В частности, рассмотрим две ситуации.

1. у = х₁х₁,

2. у = с,лг, +с₂х₂,

где х,иа:_г — случайные величины, плотность совместного распределения вероят­ностей которых задана функцией /(х„ х₂).

Если х, и х₂ независимые случайные величины, то

М{х,х₂)=М{х,)М{х₂).

Для суммы случайных величин х, и х_г без учета их зависимости можно доказать, что

М{с,х, + с₂х₂) = c_lM{x_l) + с₂М{х₂).

Кроме того,

Z5{c,jt, + с,*,} = c;D{x_l} + c;D{x₂} + 2c,c,cov {я,,*,}, где ковариация covfxp x₂) случайных величин и x₂ вычисляется по формуле

Глава 12. Основы теории вероятностей

cov[x_vx₂} = М{(*, -М{x_t})(x₂ -М{*,})} = М\х_хх_г -х,М[х₂}~х_гМ{х,} + М{х_х}М{х₂}} = = М{х₁х,}-М{х₁}М{х,}.

Если x; и х₂— независимые случайные величины, то М{х,х₂} = М{х^М{х₂) hcov{x,, х_г) = 0. Обратное утверждение неверно в том смысле, что две зависимые случайные величины могут иметь ковариацию, равную нулю.

Пример 12.3.3

Партия изделий содержит четыре дефектных (Д) и шесть качественных (К) изде­лий. Случайным образом выбирается и проверяется одно изделие. Затем, не воз­вращая его, выбирают и тестируют другое. Пусть случайные величины х, и х₂ пред­ставляют исходы тестирования первого и второго изделий соответственно.

1. Определим плотность совместного распределения вероятностей случайных величин х, и х₂.

2. Найдем маргинальную плотность вероятности случайной величины х₂.

3. Предположим, мы получаем 5 долл. за каждое качественное изделие из вы­бранных и платим 6 долл., если изделие бракованное. Найдем математиче­ское ожидание и дисперсию выигрыша после двух испытаний.

Обозначим через р(х_р х₂) плотность совместного распределения вероятностей слу­чайных величин х, и х₂, а через рДх,) и р₂(х₂) — их маргинальные плотности веро­ятностей. Определим сначалар,(х,) как

Мы знаем, что исход х₂ второго испытания зависит от х,. По этой причине для оп­ределения р₂(х₂) сначала определим плотность р(х_и х₂) совместного распределения вероятностей случайных величин х, и х₂, после чего можно будет определить мар­гинальную плотность вероятности р₂(х₂). Имеем

Для определения р(х,, х₂) воспользуемся формулой Р{АВ} = Р{А | В}Р{В} (см. раздел 12.1.2). Получаем следующее.

_Pi(K) = — = 0,

⁶> а(Д)=т!т⁼⁰'⁴-

12.3. Математическое ожидание и моменты случайной величины

Представим теперь плотность совместного распределения следующим образом.

		х2 = К	х2=Д
Р(хьхг) =	х,=К	5/15	4/15	9/15
		4/15	2/15	6/15
	Рг(х2)	9/15	6/15

Маргинальные плотности распределения вероятностей p,(#i) и р₂(х₂) могут быть оп­ределены посредством суммирования элементов (соответственно) столбцов или строк в таблице, представляющей значения плотности совместного распределения. Интересно отметить, что, вопреки интуиции, здесь/>₁(jc₁) = р_г(х₂).

Математическое ожидание выигрыша можно определить из совместного распреде­ления, если принять, что изделие К дает 5 долл., а изделие Д — 6. Следовательно,

ожидаемый выигрыш = (5 +^)^~j⁺ ~**)^^j⁺

₊ (^ ₊ 5)(±) ₊ H-6)(2) = U0.

Тот же результат можем получить, принимая во внимание, что математическое ожидание выигрыша после двух испытаний равно сумме математических ожида­ний после каждого испытания в отдельности.

ожидаемый выигрыш =(ожидаемый выигрыш после 1-го испытания)+

+(ожидаемый выигрыш после 2-го испытаиия)=

= 0,60 + 0,60 = 1,20.

Для вычисления дисперсии общего выигрыша заметим, что

2){выигрыша} = £){1-го выигрыша} + £){2-го выигрыша} +

+ 2cov{l-ro выигрыша, 2-го выигрыша}.

Так как р,(х,) = р₂(х₂), то D{l-ro выигрыша} = D{2-ro выигрыша}. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

D{x)=M{x²}-(M{x})\

Следовательно,

£){1-го выигрыша} =

-0, б² =29,04.

Далее для вычисления ковариации применим формулу

cov{x_l,x₂} = М {х^х₂}-М {х^М {х_г}.

Глава 12. Основы теории вероятностей

При вычислении значения М{х₁х₂) нужно знать плотность совместного распределе­ния вероятностей случайных величин х_х и х₂. Имеем

ковариация^:

-0,6x0,6 = -3,23.

Итак,

дисперсия = 29,04 + 29,04 + 2(-3,23) = 51,62.

УПРАЖНЕНИЕ 12.3.3

1. Плотность совместного распределения вероятностей p(x_v х₂) случайных ве­личин х, и х₂ имеет следующий вид.

		x2 = 3	х2 = 5	Х2=7
	х, = 1	0,2		0,2
p(Xi, х2) =	х, =2		0,2
	Xi = 3	0,2		0,2

a) Найдите маргинальные плотности вероятностейр,(х,) ир₂(х₂).

b) Являются ли случайные величины х_х и х₂ независимыми?

c) Вычислите М{х_х + х₂). А) Найдите cov{x,, х₂).

е) Вычислите D{5x, - 6х₂}.

12.4. НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В разделах 12.2 и 12.3 мы рассмотрели равномерные распределения (дискретные и непрерывные). В этом разделе рассматриваются еще четыре распре­деления случайных величин, которые часто используются в теории исследования операций, — дискретные (биномиальное и Пуассона) и непрерывные (экспоненциальное и нормальное).

12.4.1. Биномиальное распределение

Предположим, предприниматель изготавливает некоторые изделия партиями по п единиц в каждой. Предыдущий опыт свидетельствует, что вероятность появ­ления бракованного изделия в каждой партии равна р. Необходимо определить плотность вероятности числа бракованных изделий в партии.

тт „X Х\(П~Х)\

Имеется С* = ⁴ —— различных возможностей получить х бракованных изде­лий в партии из п изделий; вероятность реализации каждой такой комбинации равна р*(1 -р)"~". Отсюда следует, что вероятность того, что в партии из п изделий имеется k бракованных, равна (что следует из закона сложения вероятностей)

Р{х = к} = С^к„р^к(1-_Р)"-\ к =1,2,..., п.

12.4. Некоторые распределения вероятностей

Это формула плотности вероятности биномиального распределения с параметрами пир. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны

М{х) = пр, D{x) - гер(1 -р).

Пример 12.4.1

Некая работа сопряжена с десятью поездками на автомобиле между двумя городами. Выполнив все 10 поездок, работник может отдыхать остаток дня, что является доста­точным стимулом для превышения скорости. Опыт показывает, что вероятность полу­чения штрафа за превышение скорости в каждой поездке туда и обратно равна 40 %.

1. Какова вероятность того, что рабочий день закончится без получения штрафа?

2. Если штраф равен 150 долл., то каково среднее значение дневного штрафа?

Вероятность быть оштрафованным в одной поездке равна р = 0,4. Следовательно, вероятность того, что рабочий день закончится без штрафа, равна

р{_х = 0} = С° (0,4)" (0,б)¹⁰ = 0,006047.

Это значит, что шанс закончить рабочий день без штрафа меньше одного процента. Средний штраф = 150М{*} = 80(гер) = 80 х10 х 0,4 = 320 (долл.).

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.1

1. Симметричная игральная кость бросается 10 раз. Какова вероятность того, что ни разу не выпадет четное число очков?

2. Пусть независимо бросаются пять симметричных монет. Какова вероятность того, что в точности одна из монет выпадет одной стороной, а остальные че­тыре — другой?

3. Гадалка утверждает, что по почерку она может предсказать, достигнет ли чело­век благосостояния на протяжении всей своей жизни. Для проверки этого попро­сили 10 миллионеров и 10 профессоров предоставить образцы их почерка. Затем эти образцы были представлены гадалке попарно — по одной подписи миллио­нера и профессора в каждой паре. Считается, что утверждение гадалки является правильным, если она сделала по меньшей мере восемь правильных предска­заний. Какова вероятность того, что утверждение гадалки будет "удачным"?

4. Казино предлагает следующую игру. Вы, игрок, выбираете число от 1 до 6. Затем одновременно бросаются три игральные кости. Казино вам выплачи­вает столько долларов, сколько будет совпадений на костях с вашим выбран­ным числом. Если таких совпадений нет, то вы платите казино 1 долл. Каков ваш долговременный ожидаемый выигрыш в этой игре?

5. Предположим, что вы играете в следующую игру. Вы бросаете две игральные кости. Если выпавшие числа на костях различные, то вы теряете 10 центов. Если же эти числа совпадают, то вы получаете 50 центов. Каков ожидаемый выигрыш в этой игре?

6. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Глава 12. Основы теории вероятностей

12.4.2. Распределение Пуассона

Люди приходят в банк или магазин "совершенно случайным" образом. Это означа­ет, что нет никакой возможности предсказать, когда и кто придет. Плотность вероятно­сти случайной величины, которая равна количеству таких посещений на протяжении определенного периода времени, описывается с помощью распределения Пуассона.

Пусть х— количество событий (например, посещений банка или магазина), которые происходят на протяжении единицы времени (например, минуты или часа). Плотность вероятности распределения Пуассона задается формулой

Р{_х = к} = ^—, 4 = 1,2,....

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны соответ­ственно М{х) = Я и D{x) = Я. Из интуитивных соображений формула М{х) — Я долж­на означать среднее количество событий, происходящих за единицу времени. По существу, это так и есть: параметр Я определяет скорость, с которой происходят со­бытия (количество событий за единицу времени).

Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслужива­ния (см. главу 17).

Пример 12.4.2

Заказы на ремонт небольших электродвигателей поступают в мастерскую случай­ным образом, примерно 10 заказов в день.

1. Каково среднее количество электродвигателей, которые поступают ежеднев­но в мастерскую?

2. Какова вероятность того, что на протяжении одного часа не поступит ни од­ного заказа, если мастерская открыта 8 часов в день?

Среднее количество заказов, которые поступают ежедневно в мастерскую, равно Я= 10. Для вычисления вероятности того, что на протяжении одного часа не посту­пит ни одного заказа, необходимо подсчитать скорость поступления заказов в час, т.е. в среднем Х_час = 10/8 = 1,25 заказа в час. Следовательно,

Р{нет заказов за 1 час} = -= —-= 0,2865.

^{1 1} 01 1

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.2

1. Клиенты прибывают в учреждение обслуживания в соответствии с распреде­лением Пуассона со скоростью четыре клиента в минуту. Какова вероятность того, что по крайней мере один клиент прибудет в любой заданный 30-секундный интервал времени?

2. Распределение Пуассона с параметром Я аппроксимирует биномиальное распределение с параметрами пир при условии, что п — достаточно большое положительное число, р — очень малое число, а Я примерно равно пр (с математической точки зрения это означает, что п —> °°, р -» О и пр —> Я). Продемонстрируйте это на ситуации, когда известно, что изго­

12.4. Некоторые распределения вероятностей

товленная партия изделий содержит 1% брака. Вычислите вероятность того, что выборка объемом 10 изделий содержит не более одного брако­ванного изделия, использовав для этого сначала (точное) биномиальное распределение, а затем (приближенное) распределение Пуассона. Пока­жите, что такое приближение будет неприемлемым, если величина р бу­дет увеличена, скажем, до 0,5.

3. Покупатели подходят к контрольной кассе со средней интенсивностью 20 че­ловек в час.

a) Найдите вероятность того, что касса будет свободной.

b) Какова вероятность того, что в очереди перед кассой будет не менее 2 че­ловек?

4. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

12.4.3. Отрицательное экспоненциальное распределение

Если число заявок, поступивших в учреждение за определенный период време­ни, удовлетворяет распределению Пуассона, то распределение интервалов времени между последовательными поступлениями заявок должно следовать отрицатель­ному экспоненциальному (или просто экспоненциальному) распределению. В част­ности, если X есть скорость появления событий в распределении Пуассона, то рас­пределение времени х между последовательными поступлениями определяется плотностью вероятности

f(x) = Xe'^, х>0. На рис. 12.3 показан график функции f(x).

Рис. 12.3. Плотность вероятности экс­поненциального распределения

Математическое ожидание и дисперсия экспоненциального распределения равны

М{4 = 1 D{x} = ±

Математическое ожидание М{х} согласуется с определением X. Если X — скорость, с которой происходят события, то 1/Х— средний интервал времени между после­довательными событиями.

Глава 12. Основы теории вероятностей

Пример 12.4.3

Автомобили прибывают на заправочную станцию случайно, в среднем каждые 2 минуты. Вычислите вероятность того, что интервал между последовательными прибытиями автомобилей не превысит 1 минуты.

Искомая вероятность имеет вид Р{х<А}, здесь А = 1 минута. Вычисление требуе­мой вероятности эквивалентно вычислению значения функции распределения слу­чайной величины х.

л

Р{х < А} = jXe^dx = -е^ |₀^Л = 1 - е~^и. о

Вычисляем скорость прибытия автомобилей.

X = -i прибытия в минуту.

Следовательно,

Р{х<1} = 1-е"'⁰' =0,39.

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.3

1. Магазин посещают жители как городской местности, так и сельской. Город­ские покупатели прибывают со скоростью 5 посетителей в минуту, а сель­ские — 7 посетителей в минуту. Прибытия покупателей являются случай­ными событиями. Определите вероятность того, что время между последовательными прибытиями посетителей будет меньше 5 секунд.

2. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения.

12.4.4. Нормальное распределение

Нормальное распределение описывает многие случайные явления, которые происходят в каждодневной жизни, включая анализ счетов, распределение веса и роста людей и многое другое. Плотность вероятности нормального распределения задается формулой

f[x) = —F=e ^2al, -~ < х < ~,

где М{х] = /л, D{x) = d'. Нормальное распределение с математическим ожиданием // и стандартным отклонением собозначается как N(/u, о).

На рис. 12.4 показан график плотности f(x) нормального распределения. Как видим, плотность вероятности является симметричной функцией относительно ма­тематического ожидания ц.

12.4. Некоторые распределения вероятностей

Рис. 12.4. Плотность вероятности нор­мального распределения

Важность нормального распределения объясняется тем, что распределение среднего достаточно большой выборки, имеющей любое распределение, можно асимптотически аппроксимировать нормальным распределением. Это следует из представленной ниже теоремы.

Центральная предельная теорема. Пусть...,*„ — независимые, одинаково

распределенные случайные величины с математическим ожиданием /и и стан­дартным отклонением акаждая. Определим сумму

s_tl = x_t+x₂ +... + х„.

При возрастании п (п -»°°) распределение случайной величины s_n является асимптотически нормальным с математическим ожиданием пц и дисперсией пс? независимо от начального распределения величин x_vx₂,...,x„.

Центральная предельная теорема свидетельствует, в частности, о том, что сред­нее выборки объемом ге, имеющей любое распределение, асимптотически является нормальным с математическим ожиданием jun дисперсией с?/п.

Функцию нормального распределения трудно представить в виде формулы, пригодной для практических расчетов. В связи с этим составлены специальные таблицы функции нормального распределения (см. табл. 1 в приложении В). Эти таблицы созданы для стандартного нормального распределения с нулевым мате­матическим ожиданием и дисперсией, равной единице. Любую нормально распре­деленную случайную величину х с математическим ожиданием ц и дисперсией о² можно привести к стандартному виду путем замены

о

Отметим, что около 99 % площади под кривой плотности нормального распре­деления находится в интервале ц-Ъо<х< ц+Ъо. Этот факт известен под названи­ем "правило трех сигм".

Пример 12.4.4

Внутренний диаметр цилиндра должен иметь размер (спецификацию) 1±0,3 дюй­ма. Процесс механической обработки таких деталей подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием 1 и стандартным отклонением 0,1 дюйма. Требуется определить процент продукции, удовлетворяющей требованиям спецификации.

Глава 12. Основы теории вероятностей

Пусть случайная величина д: равна диаметру цилиндра. Вероятность того, что ци­линдр будет удовлетворять требованиям спецификации, равна

Р{1 - 0,03 < х < 1 + 0,03} = Р{0,97 < х < 1,03}.

При //=1и а= 0,1 эту вероятность можно выразить через стандартное нормальное распределение следующим способом.

Р{0,97 < х < 1,03} = Р|^р * z £= Р{-0,3 S z < 0,3} =

= P{z < 0,3} - P{z < -0,3} = P{z < 0,3} -[l - P{z < 0,3}] = = 2P{z < 0,3} -1 = 2x0,6179-1 = 0,2358.

На рис. 12.5 заштрихованная область соответствует искомой вероятности. Заме­тим, что равенство Р{г < -0,3} = 1 - P{z < 0,3} имеет место в силу симметрии функ­ции плотности вероятностей. Величина 0,6179 (=Р{г<0,3}) взята из таблицы для нормального распределения (табл. 1 приложения В).

-0,3 0 0,3

Рис. 12.5. Вычисление вероятно­сти Р{-0,3<х<0,3} стандарт­ного нормального распределения

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.4

1. Инженерный колледж американского университета набирает студентов из числа выпускников средней школы, которые по стандартному тесту ACT для поступающих в колледжи имеют не менее 26 баллов. Результаты тестирования выпускников являются нормально распределенной случайной величиной с ма­тематическим ожиданием 22 балла и стандартным отклонением 2 балла.

a) Определите процент выпускников средней школы, которые являются по­тенциальными студентами инженерного колледжа.

b) Определите процент выпускников школы, которые не будут приняты в инженерный колледж, если университет не примет ни одного из них с количеством баллов, меньше 17.

2. Вес людей, которые хотят совершить прогулку на вертолете в парке аттрак­ционов, является случайной величиной с математическим ожиданием 180 фунтов и стандартным отклонением 15 фунтов. Вместимость вертолета со­ставляет пять человек, максимальная грузоподъемность — 1000 фунтов. Какова вероятность того, что вертолет не взлетит с пятью пассажирами на борту? (Совет. Используйте центральную предельную теорему.)

12.5. Эмпирические распределения

3. Внутренний диаметр цилиндра является нормально распределенной случай­ной величиной с математическим ожиданием 1 дюйм и стандартным отклоне­нием 0,01 дюйма. При сборке внутрь каждого цилиндра вставляется твердый стержень. Диаметр стержня является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 0,99 и стандартным отклонением 0,01 дюйма. Требуется определить процент пар цилиндр-стержень, которые не подойдут для сборки. (Подсказка. Разность двух нормально распределенных случайных величин также является нормально распределенной величиной.)

12.5. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В предыдущих разделах мы рассмотрели свойства плотностей вероятностей, функции распределения случайных величин и привели примеры четырех типов распределений. Как определяются эти распределения на практике?

Определение (или, точнее, оценка) любой плотности вероятности случайной ве­личины содержится в необработанной информации, которая собирается в процессе изучения исследуемой ситуации. Например, для оценки плотности вероятности времени между приходом покупателей в бакалейную лавку, сначала фиксируется время их прихода. Искомое время между приходом покупателей находится путем вычитания времен последовательных их приходов.

В этом разделе мы рассмотрим, как собранные данные (именуемые статисти­ческим рядом или выборкой) можно преобразовать в плотность вероятности слу­чайных величин с помощью следующих шагов.

Шаг 1. Отображаем данные в виде подходящей частотной гистограммы и подбираем эмпирическую функцию плотности вероятности.

Шаг 2. Используем критерий согласия, чтобы проверить, совпадает ли полученная эмпирическая функция плотности вероятности с од­ной из известных плотностей вероятностей.

Рассмотрим детали этой процедуры.

Гистограмма частот. Данная гистограмма строится на основе статистического ряда (выборки) путем деления области изменения исходных данных (от минималь­ного до максимального значения) на непересекающиеся интервалы. При заданных границах (1^, I) интервала i соответствующая частота определяется как число вы­борочных значений х, которые удовлетворяют неравенству <x<I_t.

Пример 12.5.1

Данные, приведенные в следующей таблице, представляют время обслуживания (в минутах) 60 посетителей в некотором сервисном центре.