Теоретические сведения. Прямую линию с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой

Прямую линию с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами. Например, числа 1 и -1, 5 и -5 противоположные.

Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается .

Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называют множеством целых неотрицательных чисел и обозначают .

Каждому целому числу можно поставить в соответствие единственному точку координатной прямой.

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его обозначают . Любое рациональное число может быть записано в виде , где .

На множестве можно производить действия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль).

Каждому рациональному числу можно поставить в соответ­ствие единственную точку координатной прямой.

Сравнение рациональных чисел

Из двух чисел то больше, которое на координатной прямой расположено правее. Следовательно: а) всякое положительное число больше нуля и больше отрицательного числа; б) всякое отрицательное число меньше нуля; в) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Например, , так как .

Сложение и вычитание рациональных чисел

Сумма двух чисел с одинаковыми знаками равна числу то­го же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. Например, .

Сумма двух чисел с разными знаками равна числу, мо­дуль которого получается вычитанием из большего модуля мень­шего, а знак суммы совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль. Например, .

Сумма противоположных чисел равна нулю. Например, .

Чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к умень­шаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. На­пример, .

Умножение и деление рациональных чисел

Произведение двух чисел одного знака есть число поло­жительное. Например, .

Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например, .

Аналогично производится деление. Например, .

Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем

Степенью числа а с показателем k, где , называ­ется произведение k множителей, каждый из которых равен а:

Число а называется основанием степени, а число k — показа­телем степени.

Четная степень отрицательного числа есть число положи­тельное. Например, .

Нечетная степень отрицательного числа есть число отрица­тельное. Например, .

Любая степень положительного числа есть число положитель­ное. Например, .

При возведении нуля в любую натуральную степень k получается нуль, т. е. .

При возведении единицы в любую натуральную степень k получается единица, т. е. .