Пример численного решения матричной игры

Рассмотрим пример решения игры. Пусть игра задана следующей матрицей

Применение любого численного метода для решения матричной игры необходимо начинать с определения нижней чистой цены игры a и верхней чистой цены игры b. Это позволит избежать применения численных методов решения матричных игр в тех случаях, когда решение может быть найдено в чистых стратегиях. В нашем случае имеем:

Итак, и решение матричной игры необходимо искать численным методом. Предположим, что в первой партии второй игрок выбрал свою первую стратегию, тогда, если первый игрок выберет свою первую стратегию, то он выиграет 50, если вторую - 25, если третью - 10. Сведем полученные результаты в табл. 1. Из анализа колонки ²Суммарный выигрыш первого игрока по стратегиям² следует, что первая стратегия первого игрока приносит ему наибольший выигрыш. Поэтому первый игрок и должен выбрать свою первую чистую стратегию (см. колонку ²Стратегия первого игрока²). В этом случае, если второй игрок выбирает свою первую стратегию, то он проигрывает 50, если вторую - 15, если третью - 20. Наибольший выигрыш, который может получить первый игрок в первой партии, равен 50, поскольку

Аналогично, получается наименьший возможный проигрыш второго игрока

Таблица 1

Номер партии N	Стратегия второго игрока	Суммарный выигрыш первого игрока по стратегиям	Стратегия первого игрока	Суммарный проигрыш второго игрока по стратегиям	Среднее значение выигрыша v 1 первого игрока	Среднее значение проигрыша. v 2 второго игрока	Цена игры v
											32,50
									65/2	30/2	23,75
									105/3	70/3	29,17
									145/4	100/4	30,62
									175/5	130/5	30,50
									220/6	180/6	33,33
									250/7	195/7	31,78
									270/8	220/8	30,62
									295/9	245/9	29,44
									320/10	270/10	29,50
									350/11	320/11	30,45
									400/12	360/12	31,67
									415/13	375/13	30,38
									450/14	415/14	30,89
									490/15	455/15	31,50
									530/16	490/16	31,88
									560/17	520/17	31,76
									590/18	545/18	31,53
									615/19	570/19	31,18
									640/20	595/20	30,88
									665/21	620/21	30,60
									700/22	660/22	30,91
									720/23	680/23	30,43
									750/24	710/24	30,42
									780/25	740/25	30,40

Зная и , по соотношению (3) несложно вычислить приближенное значение цены игры после первой партии: v = (50 + 15)/2 = 32,5. Поскольку лучший результат в первой партии второму игроку принесла вторая стратегия (проигрыш равен 15), то он ее и должен выбрать во второй партии. В этом случае применение первой стратегии первым игроком принесет ему выигрыш в 15 единиц, суммируя его с выигрышем, полученным с помощью этой же стратегии в первой партии, получаем 65. Применение первым игроком своей второй стратегии в текущей партии приносит ему выигрыш в 40 единиц и суммарный выигрыш в двух партиях - 65.

Аналогично, применение третьей стратегии первым игроком приносит ему выигрыш в текущей партии в 30 единиц и суммарный выигрыш в двух партиях - 40. Наибольший выигрыш в двух партиях первому игроку обеспечили сразу две стратегии: первая и вторая. В общем случае с точки зрения обеспечения устойчивости решения в следующей партии лучше выбирать ту стратегию, которая была в предшествующей партии. Поэтому во второй партии первый игрок применяет свою первую стратегию. Если в ответ на это второй игрок выбирает свою первую стратегию, то он проигрывает в текущей партии 50 и 100 в двух партиях, если выбирает вторую стратегию, то проигрывает во второй партии 15 и 30 в двух партиях, если выбирает третью стратегию, то соответственно проигрывает 20 и 40. Средний выигрыш первого игрока в двух партиях равен: = 65/2 = 32,5; средний проигрыш второго игрока в двух партиях: =30/2 = 15. Приближенное значение цены игры по результатам двух партий

В третьей и последующих партиях процесс вычислений и заполнения таблицы происходит аналогично.

После 25-й партии имеем следующие приближенные значения цены игры и компоненты смешанных стратегий соответственно первого и второго игроков:

v = 30,40; x = (0,280; 0,640; 0,080); y = (0,400; 0,320; 0,280).

Сопоставление с точным решением этой матричной игры методом линейного программирования

(v = 30,77; x = (0,314; 0,554; 0,132); y = (0,409; 0,289; 0,302))

показывает удовлетворительную точность в определении цены игры и значительную погрешность в определении компонент смешанных стратегий обоих игроков. Эта погрешность объясняется тем, что в рассматриваемом численном методе применяемые игроками стратегии изменяются не после одной, двух или трех партий, а нерегулярно: восемь раз подряд в партиях с 14-й по 21-ю применялась стратегия два первым игроком; пять раз подряд - стратегия один второго игрока; в 18 партиях подряд не применялась третья стратегия первого игрока и т.д. Для того чтобы эта нерегулярность не оказывала существенного влияния на конечный результат, необходим расчет сотен партий. Действительно, если потребовать, чтобы погрешность d определения компонент смешанных стратегий не превышала, допустим, 0,01, а в последовательности партий наблюдаются m‑ кратные появления подряд одной из стратегий любого из игроков, то, в первом приближении, число партий N можно оценить следующим образом:

,

где m - наибольшая кратность появления подряд одной из стратегий любого из игроков.

При m = 8, d = 0,01 получаем, что число партий должно быть не менее 800.

Для точного определения цены игры в общем случае также необходимо большое число партий. Действительно, анализ последнего столбца таблицы показывает существенные колебания цены игры, которые уменьшаются при росте суммарного выигрыша первого игрока и проигрыша второго игрока.