Технические характеристики 2 страница

Влияние простейших неоднородностей на эффект самовоспроизведения

Искаженное объектом распределение интенсивности, полученное по схеме рис. 2.23, содержит информацию об искажениях волнового фронта в среде и, по существу, является многолучевой интерферограммой, в которой интерферируют пространственные гармоники, просвечивающие объект под разными углами. Измеряемой величиной в каждом случае является распределение поля зондирующего излучения сразу после объекта. При этом, если объект “тонкий” (оптическая толщина мала по сравнению с базой измерения – расстоянием между объектом и плоскостью регистрации), то от измеренных искажений волнового фронта на выходе из объекта можно перейти к искажениям среды, например, к неровности поверхностей пластины (зная ее показатель преломления).

В общем случае функция фазовых искажений объекта может быть найдена путем решения обратной задачи о восстановлении распределения фазы по известному распределению интенсивности.

Пусть – распределение поля в плоскости объекта. Тогда сразу за объектом поле можно представить в виде . Из измерения распределения интенсивности в плоскости наблюдения находится . Функцию фазовых искажений объекта находят методом последовательных приближений.

Поле можно представить как Фурье-преобразование функции , где . Пусть – нулевое приближение искомой функции, тогда

. (19)

Оставив фазовый множитель в , заменим амплитудную часть на и обратным Фурье-преобразованием найдем . Этот цикл повторяется до получения стационарного решения , где n – номер итерации. Количество шагов n зависит от того, насколько близко выбрано к реальному значению .

С другой стороны, сложные оптические искажения в среде могут быть представлены совокупностью пространственно-распределенных элементарных фазовых искажений типа плоскопараллельной пластины, оптического клина, линзы. Рассмотрим влияние таких неоднородностей в отдельности на распределение поля за решеткой.

Плоскопараллельная пластинка

Фазовые искажения m -й гармоники при прохождении через плоскопараллельную пластинку толщиной t с показателем n, расположенную под углом α к оси Z, можно представить в виде

, (20)

где β – угол преломления. В приближении малых углов

. (21)

Подставляя (21) в (14) и интегрируя, получим

, (23)

где аналогично множителю в фигурных скобках (17). Отсюда видно, что плоскопараллельная пластинка сдвигает плоскость воспроизведения на расстояние по оси Z и на по оси X.

Оптический клин

Фазовые искажения, вносимые тонким оптическим клином можно записать в виде

, , (24)

где γ – угол при вершине клина. Подставляя (24) в (14) и интегрируя, получим

(25)

Из (25) следует, что оптический клин смещает распределение поля по оси X и поворачивает плоскости воспроизведения на угол β, т.е. в системе координат, повернутой на угол β относительно оси Y, распределение поля соответствует распределению в свободном пространстве.

Линза

Фазовое преобразование, выполняемое тонкой линзой, можно записать в виде

, (26)

где – толщина линзы по ее оси, f – фокусное расстояние. Подставляя (26) в (14), получим выражение для распределения поля за линзой

(27)

аналогичное по структуре выражению для поля в свободном пространстве. Полагая , где , получаем формулу для нахождения плоскостей самовоспроизведения

. (28)

Период распределения поля за линзой определяется формулой

. (29)

Плоскости самовоспроизведения сгущаются перед фокусом и расходятся за ним. Масштаб воспроизведения изменяется в соответствии с (29), уменьшаясь перед фокусом и возрастая за ним. Изменение знака периода можно объяснить переменой направления оси X (перевернутое изображение).

Используя (29), можно получить выражение для определения фокусного расстояния линзы:

, (30)

где и – периоды распределения поля за линзой в двух произвольных плоскостях и . При этом наиболее точным распределение будет там, где изображение наиболее контрастно, т.е. в плоскостях самовоспроизведения. С помощью этого выражения можно определять фокусные расстояния длиннофокусных оптических элементов.

Таким образом, используя полученные результаты, можно, отождествляя по интерферограмме различные участки исследуемой среды с клиньями (по величине сдвига элементов изображения на интерферограмме), линзами (по изменению периода), плоскопараллельными пластинами (по сдвигу плоскости самовоспроизведения вдоль оси Z), построить модель среды в виде набора линз, клиньев и пластин с заданными α, β, f, t.

Точность измерения искажений волновых фронтов и пространственное разрешение связаны соотношением типа “соотношения неопределенности”, выражающим дифракционное ограничение метода. Метод допускает измерение искажений волнового фронта с точностью и может быть реализован с большим динамическим диапазоном искажений () при точности до .

Сканирование профиля поверхности

Свойство самовоспроизведения структуры поля при дифракции когерентной волны на периодических структурах находит применение в задачах трехмерных измерений и анализа профиля поверхности.

Рассмотрим схему, позволяющую получать информацию о профиле поверхности объекта, основанную на эффекте Тальбота. Исследуемая поверхность помещается в одну из плоскостей самовоспроизведения. Узор, формирующийся на исследуемой поверхности, имеет искажения, несущие информацию о профиле поверхности. С помощью CCD камеры делается три снимка искаженного узора при различных смещениях решетки, которые затем обрабатываются по специальному алгоритму, позволяющему восстанавливать информацию о форме поверхности.

Рис. 2.24. Оптическая схема метода

Оптическая схема метода приведена на рис. 2.24. Коллимированный пучок лазерного излучения падает на периодическую решетку. Функция пропускания решетки может быть представлена в виде

, (31)

где – амплитуда модуляции пропускания решетки, T – период решетки. При проецировании решетки на объект освещенность объекта в точке C

, (32)

где a – фоновая освещенность, b – амплитуда модуляции, OC – расстояние между точками O и C на опорной плоскости. CCD камера регистрирует освещенность в точке C на опорной поверхности и в точке P на поверхности объекта. Освещенность в точке P с точностью до коэффициента отражения поверхности объекта R совпадает с освещенностью в точке A на опорной плоскости:

. (33)

Разность фаз в точках С и Р определяется расстоянием AC, которое, в свою очередь, связано с высотой объекта h соотношением

, (34)

где и – углы между нормалью к поверхности и направлениями на решетку и камеру соответственно. Если камера ориентирована нормально к опорной плоскости, то выражение (34) преобразуется к виду

, (35)

где – коэффициент, зависящий от конфигурации системы.

а	б
в	г

Рис. 2.25. Сканирование поверхности монеты: а) монета и область сканирования; б) распределение фазы φ(x,y); в) изображение спроецированного узора на поверхности монеты; г) распределение фазы (главное значение)

При помещении исследуемого объекта в одну из плоскостей самовоспроизведения информация о профиле поверхности содержится в искажениях формы линий, формирующихся на объекте в результате эффекта Тальбота. Узоры, формирующиеся на исследуемой поверхности, фиксируются при помощи цифровой камеры. Математически распределение интенсивности, регистрируемое камерой, может быть представлено в виде

, (36)

где – средняя (фоновая) освещенность, – модуляция освещенности, – разность фаз, которую необходимо определить.

При смещении решетки на расстояние вдоль направления, в котором периодически модулируется ее пропускание, возникает дополнительная разность фаз . Для определения используются изображения трех распределений интенсивности на поверхности предмета, полученные при Δ, равной 0, и . Для получения разности фаз Δ используется подвижка, перемещающая решетку на необходимое расстояние. Таким образом, имеются три распределения интенсивности:

, (37)

, (38)

. (39)

Решая совместно три уравнения, получим выражение для искомой разности фаз в каждой точке объекта:

. (40)

Выражение (40) позволяет определить главное значение фазы, лежащее в пределах от до . Для устранения неопределенности к значению разности фаз в каждой точке прибавляется или вычитается таким образом, чтобы разность фаз между двумя соседними точками на исследуемой поверхности не превышала . После того, как значение вычислено, форма поверхности может быть определена с использованием выражения (35).

На практике данный метод может применяться для измерения профиля поверхностей с точностью порядка 10 мкм.

2.6. Лазерная дифрактометрия

Лазерная дифрактометрия ‑ область науки и техники предназначенная для решения обратной задачи: нахождение размера и формы объекта по дифракционной картине (ДК).

Лазерную дифрактометрию как метод измерения и контроля наиболее целесообразно использовать в диапазоне характерных размеров объекта l/D» 1/5¸1/500. Нижний предел обычно ограничивается низкой интенсивностью дифракционного распределения и слабой выраженностью характерных признаков дифракционной картины (дифракционных максимумов). Верхний предел ограничен сравнительно низкой абсолютной погрешностью измерения (единицы микрометров). При использовании He-Ne лазера (l = 0.63 мкм.) диапазон контроля – 3¸300 мкм.

Дифракцию как явление обычно принято характеризовать углом дифракции, который определяется геометрическими параметрами (характерными размерами) объекта - j» l/D.

Использование в дифрактометрии когерентного лазерного излучения позволяет в полной мере реализовать все достоинства дифрактометрии – ДК обладает высокой яркостью и контрастностью, что в большинстве случаев позволяет уверенно наблюдать большое число дифракционных порядков.

Задачи, возникающие при изучении дифракционных явлений, достаточно трудны. Поэтому большое практическое значение имеют приближенные методы решения, и, в частности, теория Гюйгенса-Френеля и методы геометрической теории дифракции (ГТД). На практике широко используются приближения, связанные с распространением волн – приближения Френеля и Фраунгофера. Соответственно различают дифракцию сферических электромагнитных волн – дифракцию Френеля и дифракцию плоских волн – дифракцию Фраунгофера. Наибольшее практическое применение в измерительных системах находит дифракция Фраунгофера (рис. 2.26), наблюдаемая в дальней зоне – H >> D²/l.

Одно из основных преимуществ использования дифракции Фраунгофера – инвариантность к положению объекта дифракции относительно измерительного преобразователя. В данном случае это означает, что независимо от положения измеряемого объекта в пучке лазера вид дифракционного распределения не изменяется.

Особенности дифрактометрии

1. Использование в качестве информационных параметров дифракционного распределения вне пределов главного дифракционного лепестка (т.е. для получения информации об объекте используется менее 20% энергии продифрагировавшего излучения).

2. Высокая скорость спада интенсивности. Как правило, она пропорциональна квадрату (для прямоугольного отверстия) или кубу (для круглого отверстия) пространственной частоты спектра.

3. Сильная зависимость дифракционного распределения от формы измеряемого объекта

Дифрактометрия как метод измерения базируется на зависимости изменения параметров дифракционного распределения при изменении размеров объекта. Отсюда вытекают два принципиальных метода измерения в дифрактометрии. Они следуют из теоремы масштабов Фурье-преобразования. В основах оптики приводится аналогичная формулировка теоремы о пропорциональном видоизменении дифракционной картины [Борн М., Вольф Э. Основы оптики]: Если объект симметрично расширяется в каком либо направлении в m раз, то дифракционная картина Фраунгофера сжимается в том же направлении в m раз, а интенсивность в некоторой точке новой картины становится в m² раз больше интенсивности в соответствующей точке первоначальной картины.

U₂(u,v) = m U₁(mu,v)

.

Таким образом, при изменении размера объекта изменяется и размер дифракционных лепестков, и их интенсивность. Это и есть два информационных параметра: интенсивность и размер дифракционных порядков (рис. 2.27).

На базе этих двух информационных параметров создано большое количество разнообразных дифракционных способов измерения.

Принципы разработки дифракционных способов

Рис. 2.27. Два метода дифрактометрии

Основные особенности дифракционных способов измерения рассмотрим на примере двух типовых объектов: щелевого и круглого отверстия (рис. 2.28).

Распределение интенсивности в сечении дифракционной картины в зоне дифракции Фраунгофера.

Рис. 2.28. Два типовых объекта дифрактометрии: щелевое и круглое отверстие

Сравнительный анализ двух методов измерения

Метод, основанный на изменении интенсивности

Рассмотрим изменение интенсивности в фиксированной точке плоскости регистрации относительно некоторого номинального размера D/D_н, тогда в соответствии с теоремой масштабов, получим:

,

где D_Н – номинальная величина размера.

Таким образом, интенсивность в фиксированной точке дифракционной картины при изменении размера изменяется пропорционально квадрату синуса. Период функции равен l/sinj, а ее амплитуда обратно пропорциональна квадрату синуса угла дифракции (см. рис.). С удалением точки регистрации от центра дифракционной картины период функции уменьшается; зависимость измеряемого параметра (интенсивности) имеет существенно нелинейный характер, что усложняет практическую реализацию способов измерения. Для оценки точностных возможностей метода измерения рассмотрим чувствительность.

.

Учитывая угловую зависимость измерительной характеристики, найдем точки максимальной чувствительности

.

Преобразуем последнее выражение и, считая что j ¹ 0, и, обозначив x = 2CD, получим трансцендентное уравнение . Отсюда угол дифракции, соответствующий наибольшей чувствительности

,

где K_m – корни трансцендентного уравнения, деленные на p (K₁=1.43, K₂=2,46, K₃=3.47 и т.д.). Считая, что угол дифракции мал, получим:

и т.д.

Отсюда следует, что точки максимальной чувствительности расположены примерно на половинном уровне интенсивности дифракционных лепестков.

Таким образом, чувствительность равна

.

Она пропорциональна мощности источника излучения, величине измеряемого размера и зависит от точки регистрации. Для получения более полного представления о возможностях данного метода измерения рассмотрим относительную и пороговую чувствительности метода. Информационным параметром в данном методе является интенсивность. Приращение интенсивности при изменении размера равно:

.

И, разделив это выражение на интенсивность в заданной точке, получим

.

Относительное приращение измеряемого размера при D=D_H равно

.

Тогда относительная чувствительность метода

.

Она также зависит только от положения точки регистрации и при ее удалении от центра дифракционной картины растет.

Метод, основанный на измерении углового (линейного) размера дифракционной картины

Угловой размер дифракционной картины, соответствующий одному или нескольким дифракционным лепесткам, равен

,

где m, n - номера минимумов дифракционного распределения. При D>>l выражение упрощается

.

Чувствительность данного метода

,

или в виде степенного ряда

.

Чувствительность метода обратно пропорциональна квадрату измеряемого размера (с уменьшением измеряемого размера чувствительность растет); прямо пропорциональна числу измеряемых дифракционных лепестков и не зависит от мощности источника излучения. Относительная чувствительность метода

.

Выразим Dj_m,n через

Подставив последнее выражение в выражение для чувствительности, получим

.

Следовательно, относительное изменение размера изделия равно (по модулю) относительному изменению углового размера дифракционной картины.

.

На практике обычно регистрируют линейный размер дифракционной картины, получаемой в фокальной плоскости объектива.

,

где - фокусное расстояние объектива. В этом случае относительное изменение размера изделия равно по модулю относительному изменению линейного размера дифракционной картины

.

Сравнительный анализ двух дифракционных методов измерения

Рассмотрим относительную чувствительность двух методов, характеризующую их теоретические точностные возможности.

Относительная чувствительность метода, основанного на измерении интенсивности, зависит от выбора точки регистрации и принимает следующий ряд значений: êS₀ ê= 360%; 880%; 990%; 1500%; и т.д.

Относительная чувствительность метода, основанного на измерении (углового) линейного размера дифракционной картины постоянна и равна:

êS₀ ê= 100%.

Сравнение по диапазону контроля показывает, что для второго метода измерения проще реализовать большой диапазон измерения. Это обусловлено тем, что хотя его передаточная характеристика и имеет обратно пропорциональную зависимость, но она изменяется монотонно. И при использовании цифровых методов обработки реализация большого диапазона измерения затруднений не вызывает.

При практической реализации формальное сравнение дифракционных методов измерения только по величине относительной чувствительности и диапазону контроля не позволяет отдать предпочтение одному из методов, так как они основаны на разных принципах. Поэтому необходимо учитывать еще и реально достижимые параметры измерительных преобразователей.

Сравним методы измерения по пороговой чувствительности, которая позволяет более реально оценить точностные возможности, ориентируясь при этом только на наиболее существенные факторы. Меньшую величину пороговой чувствительности значительно проще достичь в методе, основанном на измерении линейного (углового) размера дифракционной картины при пространственно-временном преобразовании дифракционного распределения интенсивности. Пороговая чувствительность в этом случае зависит, в основном, только от стабильности системы развертки и частоты эталонного генератора и ограничивается лишь шумами электронного тракта. При практической реализации она составляет десятые доли процента.

Пороговая чувствительность метода, основанного на измерении интенсивности дифракционной картины, зависит, в основном, от нестабильности мощности источника излучения. Обеспечение стабильности источника излучения значительно более сложная задача, чем стабилизация частоты развертки.

Можно частично улучшить характеристики дифракционных методов измерения при практической реализации, используя преобразование дифракционного спектра по интенсивности в оптическом тракте и используя отношение сигналов в методе, основанном на измерении интенсивности дифракционной картины.

Уточнить анализ возможностей двух методов можно, можно с учетом влияния параметров лазерного излучения.

III. Лазеры в биологических исследованиях

3.1. Лазерная дифрактометрия эритроцитов

Активное исследование биологических процессов в организме человека немыслимо без исследования физических свойств эритроцитов (рис. 3.1). Большинство оптических методов исследования биологических объектов (определение размеров и формы частиц, измерение степени агрегации, показателя преломления и т.п.) основаны на использовании явления рассеяния и дифракции. Такие задачи возникают в биофизике, биологии и медицине, оптике океана и т.д.

Лазерные дифракционные измерители позволяют проводить измерение размеров в диапазоне от единиц до сотен микрометров с точностью до десятых долей процента. При этом обеспечивается бесконтактность, малое время и высокая локальность измерения, инвариантность к смещениям и отсутствие необходимости фиксации образца, что позволяет эффективно их использовать для статистических образцов – совокупности эритроцитов.