Формирование портфеля инвестиций на основе экспертной информации

Для формирования портфеля инвестиций в условиях риска (задача Марковица) необходима информация об ожидаемой доходности и матрице ковариаций. Предполагается, что условия на период прогнозирования остаются неизменными.

Если эти предпосылки не выполняются, и требуется учесть не формализуемую информацию, можно воспользоваться данными экспертизы.

Рассмотрим задачу использования экспертной информации в случае, когда эксперты попарно сравнивают различные ценные бумаги (далее объекты).

Номер эксперта обозначим . Эксперт сравнивает каждую пару объектов и . Его оценка может выражать:

а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом : . Если наоборот, то .

б) балльную оценку предпочтения: .

в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект : .

г) во сколько раз один объект важнее другого: .

По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:

: например, , где число экспертов.

Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объект перед объектом .

Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .

Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .

Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).

Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:

, (6.19)

в частности , откуда , т.е. в матрице на диагоналях стоят 1.

Если условие (6.19) выполняется, то существует такой положительный вектор , что , где число объектов. Компоненты вектора это идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).

Реальная матрица условию (6.19) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.

Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :

. (6.20)

Эти равенства можно записать так:

. (6.21)

Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .

Для матрицы, удовлетворяющей условию (6.19), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый вектор собственным вектором (6.21).

Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число . Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (6.19), вектор ищется путем решения уравнения:

, (6.22)

причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.

Существуют специальные методы решения уравнения (6.22). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении

и .

и получаются на й итерации в соответствии с формулой

, (6.23)

где сумма всех компонент вектора , а в качестве можно взять любой положительный вектор, например, .

Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величина характеризует степень близости матрицы к идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (6.19).