Задача Марковица

Рассмотрим модель инвестирования в акций. Из всех допустимых портфелей , ожидаемая доходность которых равна заданному уровню , инвестора интересует портфель с минимальным риском, определямым его дисперсией . Формально задача имеет вид:

Воспользовавшись формулами (6.4), (6.5) запишем задачу Марковица:

(6.16)

Это задача оптимизации с нелинейной целевой функцией и ограничениями. Для ее решения можно использовать различные методы. Будем искать решение используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Целевая функция

.

В точке экстремума производные равны нулю:

(6.17)

Найдем эти частные производные:

Приравниваем производные нулю:

В матричной форме записи

А- симметричная матрица :

; ; .

Решая систему уравнений в матричном виде получаем решение:

Так как в векторе ненулевыми являются только два последних элемента, а в векторе нас интересуют первые координат, портфель инвестиций определяется блоком обратной матрицы из строк и последних двух столбцов. Действительно, для любого

(6.18)

Изменяя значения желаемой доходности, мы всегда получаем оптимальный портфель, а вместе с ним и минимальное СКО, ему соответствующее. Таким образом, это позволяет нам построить границу области допустимых точек на плоскости “риск-доходность”.

Пример 6.2.Инвестиции возможны в акции трех типов. Известна ожидаемая доходность и матрица ковариации, надо найти вектор: Тогда матрица и ее обратная имеют размер 5х5: По формуле (6.18) находим Пусть доходность портфеля 20%, то есть . Тогда Найдем риск портфеля инвестиций по формуле (6.16). В матричной форме

Заметим, что если в портфель инвестиций включается безрисковый актив с доходностью , задача решается аналогично. Нас будут интересовать портфели , где - доля капитала, инвестированного в безрисковый актив с нулевым риском и нулевой ковариацией .