Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Допустим, что у нас имеется две возможности инвестирования. Первая – в безрисковый актив с доходностью Вторая – покупка акции (или портфеля акций), доходность по которой является случайной величиной с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением
Портфель однозначно будет определяться долей капитала, инвестируемой в рисковый актив. Оставшаяся часть капитала будет вложена в безрисковый актив. Для каждого такого портфеля доходность определяется по формуле:
(6.6)
Тогда ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля равны
(6.7)
Перед каждым инвестором стоит задача выбора оптимального портфеля по каким-то собственным критериям. Оптимальный портфель определяется конкретным значением Рассмотрим несколько вариантов этой задачи.
1. Максимум ожидаемой доходности. Предположим, что инвестор не интересуется риском и оптимизирует портфель, стараясь получать максимум ожидаемой доходности. Тогда задача формулируется так:
(6.8)
Решение зависит от знака коэффициента . В зависимости от него имеется три случая изменения , как функции параметра (рис. 6.2).
Рис. 6.2. |
а) |
б) |
в) |
В случае б) , максимум достигается при когда портфель состоит только из безрискового актива.
Случай в), когда , и любой портфель может быть оптимальным.
Следует заметить, что второй третий случаи являются очевидными с точки зрения инвестора – он предпочтет безрисковый актив Далее будем рассматривать только неочевидный случай, когда
2. Задача Марковица. Допустим, что задан некоторый уровень доходности , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций был минимальным:
(6.9)
1 |
Рис. 6.3. |
Составляем пропорцию и находим долю инвестиций в рисковый актив - .
(6.10)
Соответственно
(6.11)
Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:
3. Соотношение “риск-доходность”. Предположим, что предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность портфеля. Введем функцию рискованности, например, следующим образом:
Коэффициент определяет предпочтения инвестора. Если для инвестора важнее доходность, а не риск, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если более важным является риск, то он выберет маленьким.
После подстановки из (6.7), задача оптимизации портфеля имеет следующий формальный вид:
(6.12)
Функция является параболой, ветви которой направлены вверх . Значит функция имеет минимум в вершине
(6.13)
Рассмотрим два варианта выбора оптимального портфеля.
1) Так как в этом случае функция убывает на отрезке , ее минимум достигается в точке
Очевидно, что неравенство эквивалентно условию
или (6.14)
2) Если это неравенство не выполнено и имеет место соотношение
,
то и минимум функции на отрезке достигается в точке . Тогда оптимальный портфель имеет распределение капитала . Из (6.13) получаем его окончательный вид:
. (6.15)
В этом случае ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение оптимального портфеля равны
.
Заметим, что в (6.14) рисковая надбавка. Ее величина зависит от предпочтений инвестора (он определяет величину ). Если доходность рискового актива больше, чем доходность безрискового актива плюс рисковая надбавка, инвестор предпочтет рискнуть и вложить весь капитал в рисковый актив. Однако, если эта надбавка столь велика, что неравенство (6.14) не выполняется, то инвестор распределяет капитал в соответствии с (6.15).
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 372 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!