произведением. Ортогональная система функций

Пусть функция и последовательность функций

(3.1)

заданы на .

Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с разложением функции в ряд по системе (3.1), т.е. с представлением функции в виде суммы сходящегося ряда

.

С такого рода представлениями функций мы уже встречались при разложении функции в ряды Тейлора и Маклорена.

В случае рядов Тейлора в качестве последовательности (3.1) бралась последовательность

.

а в случае рядов Маклорена - последовательность

Как мы убедились, разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена чрезвычайно полезно для теории и практики, но оно страдает и рядом недостатков. К их числу, в первую очередь, следует отнести то обстоятельство, что суммами сходящихся степенных рядов могут быть лишь бесконечно дифференцируемые функции. Вместе с тем, как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, имеющие "изломы" и даже "скачки". Начнем с некоторых вспомогательных понятий и определений.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.

Кусочно-непрерывные функции можно складывать и умножать на вещественные числа, в результате чего мы получим функцию, кусочно-непрерывную на .

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на функций и будем называть интеграл

(3.2)

Очевидно, что для любых кусочно-непрерывных на функций выполняются свойства:

1.

2. и из равенства следует, что на , исключая, быть может, конечное число точек ,

3. где - произвольные вещественные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на , для которых введено скалярное произведение по формуле (3.2), будем обозначать и называть пространством или .

Из свойств 1-3 скалярного произведения следует неравенство Буняковского*

которое на языке интегралов можно переписать в виде

* В.Гамильтон (1805-1856) - английский физик и математик.

* П.Лаплас (1749-1827) - французский математик, физик и астроном.

* В.Я.Буняковский (1804-1889) – русский математик.