Теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме

Пусть поверхность - замкнутая, ограничивающая тело , объем которого обозначим через .

В этом случае называется обильностью поля в теле .

Если , то говорят, что в теле есть источники; если - то стоки поля .

Тогда отношение

можно рассматривать как среднюю плотность источников и стоков, распределенных в теле .

Зафиксируем теперь внутри поверхности некоторую точку . Обозначим через диаметр области и будем стягивать поверхность к точке , устремляя к нулю. Если при этом существует конечный предел указанного отношения, то он называется дивергенцией поля в точке и обозначается так: или , т.е.

.

Можно доказать, что, если координаты вектора непрерывны в области и имеют непрерывные частные производные , то для любой точки области дивергенция существует и может быть вычислена по формуле

. (2.13)

Обратимся теперь к формуле Остроградского-Гаусса. Положив в ней , можем написать

.

Далее воспользуемся формулой перехода от поверхностного интеграла второго рода к интегралу первого рода. Тогда

.

Таким образом, теорему Остроградского-Гаусса можно сформулировать в векторной форме.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по телу , ограниченному поверхностью , т.е.

. (2.14)

Пример 2.8. Найти с помощью теоремы Остроградского-Гаусса поток векторного поля через поверхность тела, ограниченного конусом и плоскостью .

Решение. Вычислим дивергенцию поля , используя формулу (2.13):

.

В соответствии с формулой (2.14) имеем

.

Вычислим тройной интеграл, переходя к цилиндрическим координатам: