Численное диффиренцирование. Конечно-разностная аппроксимация производных

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции. В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы).

Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в общем виде следующим образом:

где — погрешность формулы. Здесь коэффициенты и зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице

Погрешность вычисляется по формуле

где h — шаг сетки, а точка ξ расположена где-то между i-тым и (i + n)-тым узлами. Примером может служить известная формула (n = 2) . При n = 1 формула может быть получена и из определения производной. Эта формула известна под названием формулыдифференцирования вперед. Формулы «в конце таблицы» могут быть представлены в общем виде в которых коэффициенты берутся из уже приведенной таблицы. В частности, при n = 1 получается известная формула дифференцирования назад.