Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла(как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.
Численное интегрирование применяется, когда:1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки. 2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x) = exp(− x2).
В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
Формулы прямоугольников Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл
Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула
выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.
Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:
где Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников
Метод трапеций
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
где Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:
где
Погрешность формулы трапеций: где
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 474 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!