Сценарий занятия

Преподаватель. Сегодня на занятии мы изучим основные понятия теории вероятностей и математической статистики, которые в дальнейшем будут часто использоваться при обработке данных физического эксперимента.

Запишите в тетрадь:

1. Тема занятия «Изучение статистических закономерностей»;

2. Задача. Определить частоту сердечных сокращений (пульс). Оборудование: пульсометр.

Для решения данной задачи проведем следующий эксперимент. Каждый из вас определит свою частоту сердечных сокращений, которую обозначим , не менее 20 раз. Полученные результаты занесите в таблицу 1 «Результаты наблюдений».

Студенты. Составляют и заполняют таблицу 1.

Преподаватель. Проанализируйте экспериментальные данные. Для этого:

§ результаты наблюдений отметьте на оси частот по порядку получения данных;

§ обратите внимание, как располагаются точки на оси частот: в порядке возрастания значений или хаотически?

Таблица 1

Результаты наблюдений

№ п/п	,	№ п/п	,	№ п/п	,	№ п/п	,	№ п/п	,

Студенты. Рисуют ось частот и отмечают на ней, полученные значения.

Ответ: результаты располагаются хаотически.

Преподаватель. Вы правильно ответили на вопрос. В таких случаях говорят, что результаты наблюдений рассеяны случайным образом. Следовательно результаты наблюдений можно рассматривать как разновидность случайных величин, т. е. величин, значения которых зависят от случая.

Запишите в тетрадь. Результат наблюдения – это случайная величина. Величина, которая в зависимости от исхода опыта или от случая, принимает различные значения, называется случайной величиной.

Возникает вопрос: «Какое из множества полученных значений , занесенных в таблицу 1, следует принять за истинное значение данной величины и как его найти?». Ответ на данный вопрос дают теория вероятностей и математическая статистика.

Запишите в тетрадь. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

Основным понятием теории вероятностей и математической статистике является вероятность. Вероятность – это числовая характеристика возможности появления некоторого определенного события в цепи событий, которые могут повторяться неограниченное число раз. В нашем случае таким событием является то, что измеряемая величина , может принимать любые значения из некоторого промежутка значений. В реальной ситуации измерения не могут проводиться бесконечное число раз, поэтому по фактически имеющимся результатам определяют не вероятность, а относительную частоту появления некоторого события. Относительной частотой называется отношение частоты появления данного события к общему числу фактически проведенных испытаний. Таким образом, относительная частота определяется по формуле: , где – частота появлениянекоторого i - го события, n – общее число всех испытаний.

Задание. Определите частоту и относительную частоту появления каждого результата наблюдения, приведенного в таблице 1. Результат выполнения данного задания оформите в виде таблицы 2 «Частота появления результатов наблюдений».

В данной таблице следует указать:

§ значения, которые принимает величина ;

§ частоту появления каждого значения величины ;

§ относительную частоту появления каждого значения величины ;

§ сумму всех частот и относительных частот.

Студенты одновременно с преподавателем рисуют таблицу 2 и заполняют ее.

Таблица 2.

Частота появления результатов наблюдений

№ п/п	Значение ,
			0,08
			0,08
			0,08
			0,20
			0,24
			0,16
			0,12
			0,04
Сумма		1,00

Преподаватель. Как видно из таблицы 2, сумма всех относительных частот равна единице. Это объясняется тем, что в каждом опыте осуществляется одно и только одно измерение искомой величины. В таких случаях говорят, что полученные результаты наблюдений являются независимыми.

Запишите в тетрадь. Результаты наблюдений, для которых , являютсянезависимыми.

Обратите внимание, на то, как расположены результаты наблюдений относительно середины отрезка .

Студенты. Результаты наблюдений сгруппированы около середины отрезка .

Преподаватель. Измерения проводились в одних и тех же условиях, одним и тем же прибором, т е. они являются независимыми результатами наблюдений величины . Если эти результаты сгруппированы около середины отрезка , то за результат измерения принимается среднее арифметическое значение результатов наблюдений, которое обозначается – .

Рассеяние результатов наблюдений около среднего характеризуется либо эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое в измерительной практике называется средней квадратической погрешностью и обозначается – ; либо средним абсолютным отклонением, которое в измерительной практике называется средней арифметической погрешностью и обозначается .

Запишите в тетрадь. Результат измерения определяется как среднее арифметическое значение независимых результатов наблюдений:

.

Рассеяние результатов наблюдений около среднего значения определяется средней квадратической погрешностью или средней арифметической погрешностью .

Задание. По полученным результатам наблюдений, приведенным в аблице 1, найдите среднее арифметическое значение частоты сердечных сокращений и количественную характеристику рассеяния результатов наблюдений – среднюю квадратическую погрешность и среднюю арифметическую погрешность.

Студенты. Ответ: =71,4 ≈ 71 ,

≈ 3,3, ≈ 1,6.

Преподаватель. Для наглядности результаты наблюдений представляют графически – в виде гистограммы. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, которая показывает, как часто получались те или иные значения измеряемой величины.

Запишите в тетрадь. Графическое представление результатов наблюдений в виде гистограммы.

Задание. Построить гистограмму по полученным результатам наблюдений.

При выполнении этого задания следует придерживаться следующего плана построения гистограммы.

Запишите в тетрадь. Построение гистограммы:

1. Полученные результаты разбиваем на интервалов, где : =5;

2. Определяем ширину интервала группирования : =4с^-1;

3. Находим границы интервалов группирования и заносим их в таблицу 3:

1-ый интервал: , где нижняя граница ,

2-ой интервал: ,

…

k -ый интервал: ;

4. Подсчитываем число попаданий в каждый i -ый интервал и заносим их в таблицу 3. Результаты, которые попадают на границы интервалов, распределяем пополам между граничащими интервалами;

5. Определяем плотность относительной частоты попадания случайной величины в единичный интервал: (заносим в таблицу 3);

6. На каждом интервале строим прямоугольник с высотой равной . Полученная ступенчатая фигура и есть гистограмма.

Студенты строят гистограмму, приведенную на рисунке 2.

Таблица 3

№ п/п	Границы интервала	Число попаданий
	60-64		0,02
	64-68		0,03
	68-72		0,09
	72-76		0,07
	76-80		0,04

Преподаватель. Проведем анализ результатов наблюдений, представленных в виде гистограммы.

Симметрична ли гистограмма относительно, ранее полученного значения ?

Студенты. Гистограмма почти симметрична относительно .

Преподаватель. Определите границы i -го интервала , которому соответствует максимальное значение плотности относительной частоты и выясните, попадает ли в данный интервал .

Студенты. Интервал, которому соответствует максимальное значение плотности относительной частоты : [68, 72], и среднее значение частоты =71 принадлежит данному интервалу.

Преподаватель. Среднее арифметическое значение принадлежит интервалу, которому соотвествует максимальное значение плотности относительной частоты . Кроме того, если провести плавную кривую через середины прямоугольников, то полученная кривая будет иметь один максимум, относительно которого ее можно приближенно считать симметричной (см. рис. 2, пунктирная линия). При выполнении этих условий в первом приближении можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения случайной величины и среднее арифметическое значение можно принять за результат измерения.

Запишите в тетрадь. Вывод: приближенно можно считать, что результаты наблюдений являются выборкой из нормального закона распределения случайной величины и среднее арифметическое значение частоты является наилучшей характеристикой измеряемой величины и принимается за результат измерения.

В результате учебно-познавательной деятельности на занятии студенты должны на уровне понимания усвоить понятия теории вероятностей и математической статистики, которые применяются при обработке результатов физического эксперимента: вероятность, относительная частота, генеральная совокупность, выборка, распределение генеральной совокупности, распределение выборочной совокупности, гистограмма, характеристики выборочной совокупности (среднее арифметическое, среднее абсолютное отклонение, среднее квадратическое отклонение); правила оформления результатов наблюдений в виде таблицы и гистограммы.

Научиться строить гистограмму, вычислять статистические характеристики по результатам эксперимента: среднее арифметическое значение, среднюю квадратическую погрешность, среднюю арифметическую погрешность; делать предварительное заключение о законе распределения результатов эксперимента.