Занятие 13. Задача оптимального управления

Класс задач оптимального управления возник в 50‑е годы 20‑го века. Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах. Принцип максимума, сформулированный Понтрягиным Л. С. в 1953 году и впоследствии доказанный его учениками и единомышленниками, представляет собой одно из крупных достижений современной математики. Принцип максимума Понтрягина существенно обобщает и развивает основные результаты классического вариационного исчисления, созданного Эйлером, Лагранжем и другими выдающимися математиками прошлого. В качестве обязательного условия в решении задачи оптимального управления входит решение вспомогательной задачи на максимум.

Для единообразия с пройденным материалом будем рассматривать задачу на минимум, принцип максимума Понтрягина сформулируем в лагранжевой форме, а соответствующее условие назовем условием оптимальности. В отличие от задачи Лагранжа в задаче оптимального управления вводится управление и появляется дополнительное ограничение типа включения на управление: , определяющее возможность человека влиять на происходящий процесс.

Постановка задачи. Задачей оптимального управления называется следующая задача:

,

, (1)

, (2)

где , , , – заданный конечный отрезок, – произвольное множество, принадлежащее пространству , – множество точек непрерывности управления ,

,

– пространство кусочно‑непрерывных на отрезке вектор‑функций,

– пространство непрерывных на отрезке вектор-функций, имеющих кусочно-непрерывную производную.

Условие (1) называется дифференциальной связью, оно должно выполняться во всех точках непрерывности вектор-функции .

В отличие от задачи Лагранжа имеется ограничение (2) типа включения, а фазовая переменная может иметь меньшую гладкость.

Определение. Элемент , для которого выполнены все указанные условия и ограничения, называется допустимым или допустимым управляемым процессом. ▲

Определение. Допустимый управляемый процесс называется локально оптимальным (или оптимальным в сильном смысле процессом),если такое, что для любого допустимого управляемого процесса , удовлетворяющего условиям , , выполнено неравенство . ▲

Теорема. Пусть оптимальный в сильном смысле процесс в задаче оптимального управления, функции и их частные производные по непрерывны в некоторой окрестности множества , а функции непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки .

Тогда найдутся множители Лагранжа

такие, что для функции Лагранжа задачи

где

,

выполнены условия:

а) стационарности по – уравнение Эйлера для лагранжиана

:

;

б) трансверсальности по для терминанта

:

,

;

в) оптимальности по :

;

г) стационарности по (только для подвижных концов отрезка интегрирования):

,

;

д) дополняющей нежесткости:

;

е) неотрицательности: . ■

Пример 1. Решить экстремальную задачу:

.

Решение: Приведем задачу к виду задачи оптимального управления. Для этого введем управление . Сначала решим задачу на минимум, а затем – на максимум.

I. .

Составим функцию Лагранжа задачи:

.

Выпишем необходимые условия локального минимума:

а) уравнение Эйлера для лагранжиана

;

б) условия трансверсальности для терминанта

,

;

в) условие оптимальности по :

;

Слагаемые в лагранжиане, не содержащие управление , здесь опущены, так как они выступают в роли аддитивных постоянных и от них не зависит.

г) условие неотрицательности:

.

Если , то из уравнения Эйлера следует, что , тогда из условия трансверсальности получим , т.е. все множители Лагранжа обращаются в ноль. Поэтому .

Положим . Тогда из уравнения Эйлера получим:

.

Так как , то и на отрезке .

Условие оптимальности принимает вид:

.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты (рис. 13.1). Поэтому

С учетом того, что , получаем:

Рис. 13.1

Так как , то . Из условия непрерывности функции в точке найдем константу :

.

В итоге получаем единственно возможную экстремаль

Покажем с помощью непосредственной проверки, что найденная функции доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем допустимую функцию . Из условий задачи получим ограничения для функции :

;

.

Оценим разность :

.

При справедливо двойное неравенство . Так как и не убывает на отрезке , то . Следовательно, и .

II. Приступим к решению задачи на максимум, сведя предварительно ее к задаче на минимум:

.

Функция Лагранжа имеет вид:

.

Выпишем необходимые условия локального минимума:

а) уравнение Эйлера для лагранжиана

:

;

б) условия трансверсальности для терминанта

:

,

в) условие оптимальности по :

;

г) условие неотрицательности:

.

Аналогично пункту I можно показать, что . Положим . Тогда из уравнения Эйлера получим: . Так как , то и при .

Условие оптимальности принимает вид:

.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина имеет координаты (рис. 13.2). Поэтому .

Так как , то .

Выполним непосредственную проверку полученного решения. Рассмотрим допустимую функцию . Из ограничений задачи получим:

,

.

Оценим разность :

.

Рис. 13.2

Так как , то . А так как и не убывает на отрезке в силу условия , то на отрезке , следовательно, . Таким образом, и .

Ответ:

;

. ●

Пример 2. Решить экстремальную задачу:

.

Решение: Сведем поставленную задачу к задаче оптимального управления. Для этого вместо функции введем вектор-функцию и управление , где , Тогда получим задачу:

.

Составим функцию Лагранжа задачи:

Выпишем необходимые условия локального экстремума:

а) система уравнений Эйлера для лагранжиана

:

,

;

б) условия трансверсальности для терминанта

:

,

,

,

;

в) условие оптимальности:

г) условие неотрицательности: .

Если , то из а) следует, что , а так как , то . Тогда из второго уравнения Эйлера получим . Если , то из б) следует, что , т.е. все множители Лагранжа равны нулю. Если , то . В этом случае приходим к противоречию с краевыми условиями . Если , то . Снова не выполняются краевые условия для функции . Поэтому .

Положим . Тогда . Так как , то . Тогда из второго уравнения Эйлера

.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а осью симметрии является прямая . При этом функция на отрезке обязательно должна поменять знак (рис. 13.3), в противном случае придем к противоречию с краевыми условиями для функции .

Рис. 13.3

Из условия оптимальности получим:

Найдем неизвестные величины из краевых условий для функции и условия непрерывности в точках и :

,

,

,

.

Откуда находим . Тогда

Найдем неизвестные величины из краевых условий для функции и условия непрерывности в точках и :

,

,

.

Решая полученную систему линейных уравнений относительно , находим: , следовательно,

Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим допустимую функцию . Из ограничений задачи получим условия на функцию :

.

Последнее неравенство перепишем в виде: . Тогда

при , и ,

при .

Оценим разность :

,

так как на каждом из отрезков произведение меньше или равно нулю.

Ответ:

. ●