Метод Эйлера. Метод основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности :

Метод основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности :

.

Если мало, то члены, содержащие во второй и более высоких степенях, являются малыми и ими пренебрегают. Тогда

.

Значение находим из дифференциального уравнения, подставив в него начальные условия. Таким образом можно получить приближённое значение зависимой переменной при малом смещении от номинальной точки. Этот процесс можно продолжать, используя соотношение

, , (5.4)

делая сколь угодно много шагов.

В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее связано с геометрической интерпретацией процесса: искомая функция заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах .

При достаточно малой величине шага метод Эйлера даёт решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к на каждом шаге интегрирования. На рис. 5.1 приведена блок-схема решения задачи Коши методом Эйлера.

Рис. 5.1 Блок-схема метода Эйлера для задачи Коши

5.1.2. Метод Эйлера с пересчётом

Значение правой части уравнения (5.2) возьмём равным среднему арифметическому между и . Используя схему метода Эйлера (5.4), получим:

, (5.5)

Это неявная схема, т.к. входит и в правую и левую части. Здесь применяют один из итерационных методов. Но если имеется хорошее начальное приближение , то можно построить решение с использованием двух итераций следующим образом: считая начальным приближением, вычисляем первое приближение по формуле метода Эйлера (5.4):

.

Новое значение подставляем вместо в (5.5) и находим окончательное значение :

. (5.6)

Это модификация метода Эйлера, называемая методом Эйлера с пересчётом.

Метод Эйлера с пересчётом можно получить и иначе, используя разложение функции в ряд Тейлора:

.

Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

.

Заменяя и , где найдено по методу Эйлера, приходим к формуле метода Эйлера с пересчётом. Здесь мы получили оценку погрешности метода: на каждом шаге локальная погрешность равна , суммарная – имеет порядок .

Для метода Эйлера с пересчётом рационально вводить автоматический выбор шага в каждом узле: если величина , то шаг увеличиваем, если , то шаг уменьшаем.

На рис. 5.2 приведена блок-схема метода Эйлера с пересчётом.

Рис. 5.2 Блок-схема метода Эйлера с пересчётом