Решение. Из формулы примера 5 находим, если в формуле положить m = 1 и = 2,

Из формулы примера 5 находим, если в формуле положить m = 1 и = 2,

n = = ≈ 6,1 года.

В большинстве случаев, когда темп роста стоимости находится в практически интересном диапазоне 3–20 %, используют вместо рассмотренной упрощенную формулу, называемую «правилом 72-х»:

,

где r – задается в процентах (а не в долях единицы).

В нашем примере

= 6 лет.

Эту простую формулу можно использовать и для нахождения нужного темпа роста, обеспечивающего удвоение стоимости за определенное число лет. Например, чтобы удвоить валовой внутренний продукт страны за 10 лет, необходимо, чтобы он возрастал с темпом r = = 7,2 % в год.

8.2. Вторая функция: будущая стоимость

единичного аннуитета FVA₁ = φ₂

Многие финансовые операции имеют вид не разовых платежей / поступлений, а серии регулярных выплат/доходов – арендные взносы, погашение долгосрочного кредита, получение процентов по облигациям, платежи в пенсионный фонд и т.д.

Последовательность одинаковых платежей/доходов, производимых/ получаемых через одинаковое время называется аннуитетом (лат. annuitas – ежегодный платеж) или рентой (лат. reddita – возвращенная).

Под платежом/взносом называется единовременный вклад/доход, производимый в каждом временном периоде. Он обозначается через РМТ (от англ. payment – платеж). Если платеж делается в конце платежного периода он называется обычным, а если вначале авансовым. Чаще на практике встречается обычный платеж.

Формула будущей стоимости единичного аннуитета, как сумма членов геометрической прогрессии имеет вид:

φ₂ = FVA₁ = (7)

Эту формулу также называют фактором фонда накопления капитала, т.к. она показывает накопленную к концу n-го периода денежную сумму, при условии вложения в каждом периоде одной денежной единицы под r процентов.

Если платеж не единичный, а равен РМТ, то накопленная сумма к концу n-го периода будет:

FVA = PMT × FVA₁ = PMT × (8)

Если денежные платежи осуществляются не один раз в год, а «m» раз, то будущая стоимость аннуитета вычисляется по формуле, аналогичной формуле (8):

FVA = PMT × (9)