Финансовые вычисления в экономике

недвижимости – шесть функций сложного процента

Профессиональная работа с недвижимостью требует знаний и умений при оценивании экономических последствий от операций, совершаемых с недвижимостью. Практика нескольких столетий выработала специальные методы, которые в России до отмены частной собственности были известны под названием «коммерческие вычисления», в странах рыночной экономики называются чаще всего «финансовой математикой». Эти методы постоянно развиваются в соответствии с запросами практики. Так, в последние десятилетия они дополнены специальным аппаратом, позволяющим оценивать фьючеры, опционы, портфели недвижимости, форфейтинговые (трансформирующие торговый кредит в банковский) операции и др.

Владение методами финансовой математики стало одной из важных составляющих в качественной подготовке риэлтеров, оценщиков, менеджеров, экономистов, банковских работников, предпринимателей. Изложение начнем с основы финансовой математики, с изложения процентных вычислений, часто объединяемых названием «шесть функций сложного процента» или «шесть функций денежной единицы».

В основе финансовых расчетов лежит «принцип неравноценности нынешних и будущих благ», называемый также проблемой «время – деньги».

Будущие деньги дешевле сегодняшних не только из-за обесценивающей их инфляции, но, главным образом, из-за потери дохода, которого лишается инвестор, теряющий возможность вложить сегодня в дело будущие деньги.

Простейшие финансовые операции, производимые в инвестиционной деятельности, заключаются во вложении/заимствовании капитала на определенный период времени, а затем в получении/возврате увеличенного капитала. Логика этих операций представлена на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Основные финансовые операции

PV (от англ. Present Value) – текущая стоимость. Синонимы – стоимость текущего момента времени, настоящая, реальная стоимость;

FV (от англ. Future Value) – будущая стоимость. Синонимы – наращенная, аккумулированная, капитализированная стоимость;

r_t – процентная ставка (если t = 1 год). Синонимы – процент, темп прироста, ставка процента, ставка доходности;

d_t – дисконтная ставка (если t = 1 год). Синонимы – дисконт, ставка дисконтирования, учетная ставка.

Капитализация – процесс определения будущей стоимости денег по их текущей стоимости, т.е. процесс превращения PV в FV. Предполагается, что деньги удерживаются в деле в течение определенного времени, принося периодически процент, который накапливается и тоже приносит доход.

Дисконтирование – процесс определения текущей стоимости денег по будущему доходу от инвестиций, т.е. процесс превращения FV в PV.

Математическая связь между капитализацией и дисконтированием простая и задается формулами:

FV = PV + r_t × PV = PV (1 + r_t);

PV = FV – d_t × FV = FV (1 – d_t); (1)

Из двух последних выражений путем несложных алгебраических преобразований легко получить:

r_t = , d_t = ,

r_t = , d_t = . (2)

Из последних выражений видно, что всегда (кроме предельного случая:
r_t = d_t = 0) имеет место r_t примерно равно d_t.

Как правило, в финансовых расчетах используется ставка r_t, даже когда речь идет о дисконтировании. Таким образом, r_t и d_t отождествляются.

Причина в том, что ставка r_t легко определяется по бухгалтерской отчетности, т.е. по прошлому и настоящему, чего нельзя сделать в отношении ставки d_t.

Разница между r_t и d_t невелика в штатной для экономики ситуации, когда доходность по инвестициям не превосходит 15–20 %.

Сегодняшние расчеты FV нужны лишь в качестве ориентиров при планировании инвестиций, а не как точные величины, по которым в будущем станут производиться расчеты между заинтересованными сторонами.

Если же экономика не стабильна, если имеет место высокая инфляция, если процентные ставки окажутся высокими (а разница между r_t и d_t большой), то в такой экономике любые расчеты становятся ненадежными, и при принятии решений, как показывает опыт, лучше опираться не на формальные методы, а на экспертные оценки – они точнее. Поэтому в обычной (нормальной) экономической ситуации допустимо считать, что r_t ≈ d_t.

Следует также помнить, что инвестиции (затраты) всегда связаны с будущими доходами и в силу имманентно присущей будущему неопределенности, с риском не получения ожидаемого дохода. Доход, как правило, окажется либо больше, либо меньше прогнозируемого. Причины риска весьма разнообразны – экономические, технические, экологические, социальные, природные, политические и др.

Оценивать будущие доходы станем по правилу сложного процента, предполагающему его начисление на возрастающую базу (денежную сумму).

С финансовыми расчетами тесно связаны специальные математические функции, называемые также «шесть функций сложного процента». Синонимы – шесть функций денежной единицы, шесть функций денег:

1. FV₁ – будущая / накопленная / аккумулированная / капитализированная денежная единица;

2. FVА₁ – будущая стоимость аннуитета (ренты), т.е. единичного денежного потока;

3. SFF₁ (англ. Sinking fund factor) – фактор фонда возмещения, показывающий величину периодического платежа, который позволяет за «n» периодов времени, при заданной ставке процента, накопить одну денежную единицу;

4. РV₁ – текущая / дисконтированная / настоящая стоимость денежной единицы;

5. РVА₁ – текущая стоимость аннуитета, т.е. сегодняшняя стоимость единичного денежного потока;

6. IАО (англ. Installment of amortise one) – взнос на амортизацию единицы, показывающий размер периодических равных платежей в течение срока кредита, включающих погашение основного долга и уплату процента в расчете на единицу долга.

8.1. Первая функция: будущая стоимость

денежной единицы FV₁ = φ₁

Капитал, вложенный в недвижимость увеличивает за год свой размер на величину процента, определяемого через ставку процента. Последняя равна отношению чистой прибыли к вложенному капиталу.

Рост каждой единицы капитала может исчисляться либо по правилу простого процента, когда процент начисляется только на первоначальную сумму; либо по правилу сложного процента, когда процент начисляется на всю накопленную к началу года сумму.

Первый способ проще в вычислениях (FV₁ = (1 + r × n)), второй несколько сложнее (FV₁ = (1 + r)ⁿ). Применение первого оправдано при незначительной ставке процента (r) и малых периодах накопления (n). Применение второго способа объективно правильно, но опирается на допущение, что вложенные деньги не будут изыматься из оборота до конца срока инвестирования. Количественная разница между способами видна из приводимой таблицы.

Вклад – 100 ден. ед., ставка процента – 10 % годовых

Год	Сложный процент	Простой процент
Накопленная сумма – FV	Процент	Накопленная сумма – FV	Процент
		–		–
	133,1	12,1
	146,41	13,31
	161,05	14,64
	259,37	23,57

В таблице первые строчки для сложного и простого процента, определяющие накопленную сумму на конец года, равны сумме полученного за год процента, начисленного на имеющийся в начале года вклад и накопленного на конец предшествующего года (равно на начало текущего года) вклада. Например,
FV (4 год) = 146,41 = 13,31 + 133,1.

Различие между способами особенно заметно для n = 50 лет, когда величина процента (сложного), равного 1067 д.е., превосходит всю накопленную по правилу простого процента сумму, равную 600 д.е. Различие также велико даже при небольших n ≥ 5, если r > 15 % что следует из ниже расположенной таблицы.

Вклад – 100 ден. ед., срок вложения – n = 5 лет

r	Накопленная сумма – FV
Сложный процент	Простой процент
0,03
0,05
0,1
0,15
0,3
0,5
1,0

Первая функция денежной единицы для сложного процента имеет вид:

φ₁ = FV₁ = (1 + r)ⁿ, ден. ед., (3)

где r – ставка процента, n – количество периодов начислений. Она показывает во сколько раз возрастает одна денежная единица за «n» периодов при ставке процента r. Если речь идет не об одной денежной единице, а величине PV, то:

FV = PV ∙ FV₁ = PV ∙ (1 + r)ⁿ, ден. ед. (4)