Критерий согласия Пирсона

КРИТЕРИЙ ПИРСОНА χ² – критерий проверки гипотезы о том, что изучаемая случайная величина подчиняется заданному закону распределения: H₀: F(x) = F₀(x).

Наблюдаемое значение статистики критерия рассчитывается на основе данных, представленных в виде вариационного ряда по формуле: ,

где m_i – частота i-го значения или интервала (число наблюдений выборки, равных i-му значению x_i, или попадающих в i-й интервал (a_i; b_i), i = 1, …, l;

p_i – вероятность принятия случайной величиной i-го значения или вероятность попадания в i-й интервал;

n – объем выборки n = Σ m_i.

Часто для расчетов вводят понятие "теоретической частоты" m_i^T = np_i, что позволяет преобразовать формулу наблюдаемого значения статистики критерия к виду: .

По теореме Пирсона при истинности гипотезы H₀ и n → ∞, распределение статистики χ²_набл сходится к χ²-распределению с ν = l – r – 1 степенями свободы, где r - число параметров предполагаемого теоретического зако­на, использованных для вычисления теоретических частот и оценива­емых по выборке. Для проверки нулевой гипотезы H₀ на уровне значимости α строят правостороннюю критическую область. Границу критической области χ²_кр находят по таблицам χ²-распределения из условия P(χ² > χ²_кр(α; l – r – 1)) = α.

Гипотеза отвергается на уровне значимости a, если вычисленное значение χ²_набл окажется больше критического χ²_кр(α,ν), найденного по таблицам распределения χ² для уровня значимости a и числа степеней свободы ν = l – r - 1. В противном случае гипотеза не отвергается.

Если все или некоторые значения определяющих теоретический закон параметров известны, то для вычисления вероятностей p_i оцен­ки параметров заменяют их данными значениями или другими оценками, получаемыми на основе выборки при известных значениях остальных параметров. При этом число степеней свободы увеличивается, так как r, уменьшается.