Понятие решетки

Пусть рассматриваемые далее множества А и В - чум.

Наибольшим (наименьшим) элементом аÎА называется элемент а, если а ³ (£) х, где х Î А.

Теорема: Если в множестве А существует наибольший элемент, то он единственный.

Доказательство: Предположим, что существуют два наибольших элемента а₁ и а ₂, тогда:

а1 = а2;

}

а₁ ³ а₂

а₂ ³ а₁

Максимальным (минимальным) элементом множества А называется элемент аÎА, когда неверно, что а £ (³)х, где х Î А.

Мажорантой (минорантой) множества В (такого что Æ Ì В Í А) является

элемент а Î А, такой что элемент а является наибольшим (наименьшим) элементом для множества В.

Множество мажорант (минорант) множества В образует верхнюю (нижнюю) грань множества В.

Наименьший элемент верхней грани называется точной верхней гранью или Supremum (Sup).

Наибольший элемент нижней грани называется точной нижней гранью или Infimum (Inf).

Частично-упорядоченное множество, в котором любая пара элементов имеет Sup и Inf называется решеткой.

Примеры решеток.