Теорема Котельникова

Если непрерывную зависимость в результате квантования заменили решетчатой функцией, происходит потеря части информации. Такая потеря информации происходит и в результате работы импульсных модуляторов. В пределе, при бесконечной частоте квантования, получается непрерывный сигнал. Представляет интерес нижний предел частоты квантования. В самом деле, если частота низка, непрерывный сигнал за один интервал может весьма существенно измениться. Следовательно, может оказаться невозможным восстановление исходного сигнала по его решетчатой функции.

Определим то условие, выполнение которого обеспечивает полностью восстановить выходной сигнал.

Допустим, непрерывная часть импульсной систем имеет АЧХ, представленную на рис. 2.54, с полосой пропускания от – до + .

Рис. 2.54. Полоса пропускания НЧ импульсной САУ

Особенностью импульсной САУ является то, что частотные характеристики представляют собой периодические функции частоты w_о.

Частотный спектр импульсной САУ представлен на рис. 2.55.

Рис. 2.55. Частотный спектр импульсной системы

Периодичность частотных характеристик импульсной САУ, а также их симметричность относительно оси ординат, означает, что для их полного описания достаточно иметь частотные характеристики в диапазоне частоты от 0 до . Чтобы выделить сигнал без искажения, нужно, чтобы «боковые» спектры не накладывались на основной спектр, для этого необходимо, чтобы w₀ ³ 2 w_нч.

Импульсная теорема сформулирована и доказана В.А. Котельниковым в 1933 году. В соответствии с этой теоремой, если сигнал не содержит частот выше, чем w_нч, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом Т = p / w_нч..

Таким образом, период квантования должен быть

Пример 2.17. Используя Теорему Котельникова определить период квантования импульсной САР частоты вращения ДПТ.

Решение.

Воспользуемся параметрами системы из примера 2.9 и выражением передаточной функции непрерывной части из примера 2.16: =0,1с.; =0,7с.; К_эу =15; К_сд =0,6; К_р =0,2; К_г1 =10; К_д1 =8,5; К_тг =0,16; К_ос =0,5.

Воспользуемся ППП Mathcad и построим АЧХ непрерывной части. Полосу пропускания непрерывной части w_нч ограничим 10% от .

Результаты приведены на рис. 2.56. Из графика выбираем w_нч =3,25 рад/cи, используя формулу, определяем период квантования импульсной системы

Рис. 2.56. АЧХ непрерывной части, w_нч=3.25 рад/c